Si, dans la forme F, nous jiosons

( -J, = -!>,. U:, = — Ov,

( j. = il,, Oi =^ Q.,,

la forme F de\ienL

F = wiQi -T- tOoUo — . . .— io.2/,i-iî,,-

D'après ce qui précède, cette forme bilinéaire se transforme en elle-même, cjuand on eflVctue sur les w la substitution c7, et que l'on effectue en même temps sur les Q la substitution correspondante résultant du changement de variables (4), la substitution (a-) ayant été effectuée sur les i» en même temps que sur les to. Nous appellerons S la substitution correspondant à la substitution 7, effectuée sur les Q. Désignons cette dernière par

On a identiquement

I0l<>i -^ Wj^î -^- • --t- '-^2/' --2/) = ^'^ l "1 -^ 'i>î —9 -^- • • -I- '^'-'2. -^--•2/':

et de là se déduisent immédiatement des relations entre les m et les M. On voit bien aisément que, en vertu de ces relations, la substitution inverse de S, c'est-à-dire l'expression des 0 en fonction des H' . correspond à

Qi = m]Q\-^m'^Q',-~...-^my'Q',,, (t = i, 2, ..., O-p). Or posons maintenant, dans les équations (2),

le système de ces écjuations (2) devient manifestement

(5) Q,. = M', Oi-T-M',02--...-i-i\U/,02/, ( i = i,i. ..., 2/j),

d'après la manière même dont on passe de la substitution 7 à la substitution S.

Dans la question qui nous occupe, on peut donc remplacer le système des équations (2 ). pris bien entendu pour toutes les substitutions du groupe de E, par le système des équations (5); on doit

INTÉGRALES DOIIBLKS DISTINCTES DE S^:C0M)1• KSl'fcCE. .'igS

ctal)]ir que, poui' les cqiiaLions (5) et les équations (3), le degré (riacléterniinatlon dans la solution (les Q et les À étant considérées connne les inconnues) est le même.

La chose est iniui(''diate si nous transformons encore le système (5) en résolvant par rap|)ortaux lettres Q du second membre, ce qui nous ramène à la substitution inverse et donne le système (5)'

(5V Q, = m?Q, + m2Q., -!-...-+-/» p'Q,/, (i = i, -x, . . ., -ip).

Or, le système (5)' n'est autre que le système (3); il suffit de poser

On voit ainsi bien nettement ([ue, à toute solution du système (2), correspond une solution du système (3). 11 y a donc le même degré d'indétermination dans les deux systèmes et le théorème est établi. Nous pouvons dire que, ci toute intégrale de différentielle totale de seconde espèce {transcendante), correspond un système de cjuantités P; par suite^ à toute intégrale de cette nature correspond un certain polynôme en y^ solution de E et, inversement, à tout polynôme en y, solution de E, correspond, pour la surface, une intégrale de difj'érentielle totale.

Puisque les \ s'expriment à l'aide de r d'entre eux par des formules homogènes et linéaires à coefficients commensurables, on peut affirmer que V intégrale qui a servi à former l'équation E admet r périodes distinctes qui sont des polynômes en y.

On le voit de suite; car, en changeant, s"il est nécessaire, les indices, on peut supposer que V+i? •••5 '^-^p s'expriment de la manière indiquée à l'aide de A,, A., • • •/>'>/-5 l'expression générale de nos polynômes sera

A] ( W,. /il Mr-^i Ao W,.+2 • - • i^o.p-r^'^ip) "H • • •

-1- À,.('a),. — /lOJ/.+i — . . .— top^r^-lpj^

les A-, ..., / étant des nombres rationnels : les coefficients des 1 sont /■ polynômes nécessairement indépendants, puisque les to forment un système de solutions distinctes de E.

7. Il ne sera pas sans intérèL de faire une vérilîcation direcle pour /j = 2. Ecrivons la substitution i sous la forme

OJ j = «I fO] -- b\ (JJo -r- Ci CO3 -T- d-i M;.

10'., = aoioi -f- biM-i -T- c-i^z ~i~ doU)-,.

o/j = r/jW, — Z>3t02 -H CstOs -f- f/sCOi, m\ = a^ Oii -~ b:, tO, -i- Cv 0):j -7- f/i M; .

Celte substitution eft'ectuée à la fois sur les o) et les 'J transformant en elle-même la forme bilinéaire

(ij| 'Jo — COo'Jj -T- W3'J4 — W4'J3,

on aura les relations

«1 ^2 '''2^1 -(- "^3 ^^V '^i 1^3 = Il

Cl f/o — c>di -+- c^f/; • — r. r/3 = F,

«1 C2 — «2 «^I -^ ^'.î <"► — '^i <":J = Oî

/>lC2 — f'iCi -r- b:^C^ ^4C3 = O,

bido i>-2 di -^ 63 f/4 — 64 d:i = O.

Le système des équations (2) est ici

p., = a. P, -;- b.2 P2 ^ C2 P3 " f/2 Pi,

P3 = «3Pl -63P2 + C3P3^-f/3l''., P; : «,, P, H- ^;, P, 4- Ci P3 -^ f/i Pi

et le système des équations (3) est

!X, = a,Xj -^ ^3X2 -i- «3 A3 -^ «i^i, )., = bi X, -I- b.l. ^ h-,l3 -^ ^iXi, A3 = CiÀi -^ C2À2 -r-C3À3 -i- CiZ-i, Ai = di À] -^ c/2 Xo -r- f/3 X3 -f- <r/i Xi.

Ce sont les systèmes (a) et (|5l) que nous avons à comparer. Or, si l'on pose, dans les équations (a),

P1--Q2, P3 = -Qi.

P2= Q„ Pi^ Q3,

INTÉGIJALKS DOLIîLES DISTINCTES \)K SECONDE ESPÈCE.

on a les équalious du type des êqiialions (5)

q, = — /;, o, -4- oiq., — r/, q^ h- c, Q,,,

Q3 = -f- /.. <^)| — «i o, + r/v Q3 — Ci Qv, o. = b, Q, H- «3 Q, - d, Q3 -^ C3 Q,

et l'on trouve les é([ualious correspondant aux écpiations (5)' en résolvant les équations (y) par rapport aux lettres (J tpii sont dans le second membre et en se servant des relations entr(! les a, A, c, d. On a ainsi

O, = ai Qi -!- «., Q2 -I- a-iO-i -+- «iQi,

Q2 = ^1 Qi - 1^1 Q-2 + b, q-, -+-b;q,,

Q.i = ^1 Qi -^ C2Q2 -^ C3 Q3 + riQi, Q^ = </, O , -+- f/, 0-, 4- f/3 O3 -+- fA Q V.

Ces dernières équations sont les é(piati()ns (^[i) (piand on pose

et cela est bien conforme à la démonstration «générale du paragraphe précédent. La ^érifîcation est donc complète.

8. Le théorème général, cjui vient d'être établi sur les intégrales de différentielles totales de seconde es|jèce, aurait pu être démon- Iré par nne antre voie. D'après ce que nous avons vu antérieurement, la recherche des intégrales de dillércnliclles totales de seconde espèce peut être faite de la manière suivante. Soient, comme habituellement, 2/> intégrales distinctes de seconde espèce

de la courbe entre x et z

désignons |)ar

wï,,^ 1,

les -ip périodes de 1^ prises suivant le système des p rétroseclions (C, D) de Hiemann, un w d'indice impair et le suivant cor-

396 CHAPITRK XII.

respondant respectivement aux parties C et D de la rétrosection. On doit considérer le système d'équations en a

(S) ^l^'-*!- "^ «oW^ -T-- • --T- rto/^Wr.'' = V I; [k =1,2, . . ., 2/)),

les P étant des constantes satisfaisant aux relations rappelées plus haut. Ces équations donnent, pour lesrt, des fonctions rationnelles dey.

Rappelons-nous maintenant que, si 1 on a les périodes

. ., toi'/,i,

^Ap

. ., CO.i/,-!,

correspondant à deux intégrales 1^ et I^, l'expression

OJj (O2 coi' W] -!-. . .-f- tOo'/,-i COo p — OjJpOJj p-1

reste invariable par les substitutions du groupe tant de fois considéré et est, par suite, un polvnome en y. On déduit alors des équations (S) que la combinaison

(5) Pi CO/' — Ps W(' -+-... + P2^i o4V - P,;, to/',,,

est une fonction rationnelle de y et, par suite, un polynôme, puisque autour d'un point singulier r = b elle est nécessairement de la forme

>>(r) + H-(j')iog(r-^'),

X et ij. étant holomorphes, et qu'il faut alors que [J-(r) soit identiquement nul. Si donc il j a /■ arbitraires parmi les constantes P, il V aura /* combinaisons distinctes (0) qui donneront des polynômes; par conséquent, V équation E adnietlra comme solutions /• polynômes distincts.

Le même raisonnement démontre la réciproque. Supposons qu'il y ait /• expressions (S) distinctes se réduisant à des polynômes pour des valeurs des constantes P (bien entendu, quel que soit /( 1= i, 2, ..., ip). Le système des équations (S) peut être remplacé par un système équivalent S de la forme

(S) ai-],^a.T.l^...-^a.,,T.l'' =V,k (A- = i, 2, . . ., 2/j),

les - et les U étant des polynômes en y\ de là on tire pour les a

imé(;ralks uolblks disiincti-s dî; seconde esi»î;ce. 897

(les fractions rationnelles de y. A chaque système de valeurs con- \enal)les des constantes P correspond donc une intégrale de din'érentielle totale de seconde espèce, ce qui démontre la réciproque. J'cijouLe quelques remarques importantes su/- les jjé/ iodes des I. D'après le § 11. il va 2p — /■ (piantités ii Inu-airenient indépendantes, soient

Ouand la \arial)le y partant d un point y revient, une substitution linéaire à coefficients entiers se trouve effectuée sur les Q. Celles-ci satisfont à une éc|uation linéaire d'ordre zp — /• à coefficients rationnels ( '). Outre les 2/> — /' cycles, correspondant à ces ii, de la surface de Pviemaiin f(x.y, z) = o, il y a /• autres cycles qui correspondent précisément aux /• polynômes dont il vient d'être question; ces /• cvcles ne se modifient pas par une cir- (udation de y-

Considérons maintenant les équations analogues à (S), donnant les a, en supposant que les périodes

soient relatives aux cvcles ci-dessus : soient

pour les 2p — /■ d'abord considérc's. et

pour les /• derniers. Ecrivons alors de nouveau les équations ( S' ) ai to^. -T- «2 to| H- . . . -I- a-2i, oj|/' = P/^. ( /i = I , ?.. .... 2/» ).

Il est très facile de voir ce que doivent être les constantes P^-, pour que les a tirés de (S) soient rationnels en y. Les expressions (a) étant transformées par des substitutions linéaires les concernant seules, et les expressions ([i) n'étant pas modifiées, on aura né-

(') Au lieu de l'équation difl'érentielle linéaire E on pourrait donc considérer l'équation difTérentielle linéaire E^ d'ordre ip — /• à laquelle satisfont les Î2 ; nous reviendrons sur l'équation E,, au Chapitre suivant.

SgS cuAi'iiiiE XII.

cessairement

tandis que Pj/)„, + i V-^p sont des constantes arbitraires.

Sur le nombre des périodes de certaines intégrales doubles.

9. Nous venons d'étudier, dans la Section précédente, l'équation E à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale abélienne de

seconde espèce

Qi'.r, }-, z ) dx

ÎNoiis avons envisagé précédemment (par exemple, t. II, p. i\et 35 ij une autie équation dillérentielle linéaire qui a été appelée E'; c'est l'équation à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale abélienne arbitraire (n'étant pas nécessairement de seconde espèce)

^'^ J Ji '

P passant tou|Ours parla courlje double. Cette équation est d'ordre

et, parmi les périodes de (6), se trouvent m — i polynômes.

Qu'arrive-t-il pour l'équation E' quand la surface possède /• intégrales de diflerentielles totales de seconde espèce? Il j a, pour l'équation E', une intégrale particulière relative à chaque point critique bi que nous continuons à dénommer Q/.

Nous allons montrer que, parmi les ù/, il y en a

•).p -r- m — I — r linéairement indépendantes, et inversement, s'il y a

INTÉGRALES UOUBI.I-S DISTINCTES I)F, SECONDE ESPÈCE. Sqq

iî linéairement indépendants^ la surface possède r intégrales simples de seconde espèce. C'est une propriété de réquation E' analogue à la propriété de l'équation E démontrée au n" 2 de ce Chapitre.

10. Parmi les 0 il y eu a «'crlainemcat au moins 2/y — /' linéairement indépendants, c'est-à-dire ([ui correspondent à des cycles distincts sur la surface de Ru-mann relatne à I écpiation entre .x

et z

puisqu il en est ainsi dans le ("as de 1 é(juation E. iJésignons par

les ù corres|iondant à ces cycles. A ces 2/> — ;• périodes de (6) adjoignons /• autres périodes (o,, 0)0, ..., lo,. correspondant sur la surface de Riemann à des cycles formant, avec les cycles qui sont relatifs aux il précédents, un système complet sur la surface de Riemann. Nous aurons alors pour léquatiou E' les ■i/>~m — i intégrales indépendantes

les - désignani, comme dans tout le Chapitre XI (t. II). les polynômes correspondant aux points logarithmiques à rinlini. Soient maintenant

(7) t2i. Oo, ..., il2,,-r, '-hp-r+l 1^2,;-/;;- 1-T,

2/> -h m — 1 — T fond ions il linéairement indépendantes, turmées des ^p — /• fonctions Q déjà considérées et d"un certain nombre d'autres. Ces dernières, que nous a\ons désignées par

correspondent à des cycles de la surface de Riemann qui, sur celle-ci regardée comme fermée, se ramènent aux cycles relatifs à Q,, ii.2- ■■-, i-l2p-r'^ pai' suite, les expressions (8) s'expriment linéairement à l'aide de

4oO CHAPITRE XII.

Soient ainsi

(9) --A — 'M "l "^ Ao 5.^2 -T-. . .-H l,.-,,,.-r---2i>-r -^ [>--2 -.o ^^ • • • -r" [J-m <-/«

( h ^= ip — r -{- \, . . ., 2p -^ m — i — ■: ),

les ). et les ui étant rationnels. Le nombre des équations (9), c'està-dire

doit être au plus égal km — i, car, autrement, on aurait une relation linéaire entre les fonctions (- ), ce qui n'a pas lieu; on a donc nécessairement

Ajoutons encore que, si l'on envisage les équations avec les indéterminées c

;jl(' Co -t- . . . -f- \i-',\i c„i = 0 ( /i = 'JL]) — /• -i- I , .... ip -^ m — i — ■: ),

on pourra certainement y satisfaire, les c nétant pas tous nuls (sauf dans le cas où t = /■) et, sur les c, on pourra certainement en prendre v — r arbitrairement.

Nous voulons précisément démontrer que ~ est égal à r. D'après ce qui précède, il faut montrer que t n'est pas supérieur à /•.

11. Plaçons-nous donc dans l'hjpotbèse t >> /■. Nous n'avons à peu près qu'à généraliser l'analyse de la page 38 1 (t. II) s'appliquant à la même question, mais dans le cas où r^ o.

Reprenons les intégrales {loc. cit.)

I II <:/j", .... / I2/) (l^, / J2 d'^- • • • 1 / J/H dx

avec les

Q/', r^- (h = i. -2, .... ip : /. = V.. .... m),

rindice i étant relatif au cycle. En\ isageons, en outre, les périodes

correspondant, pour les intégrales précédentes, à to,, too, ..., oj,-, Les périodes de l'intégrale abélienne

(«1 II -f- . . .-i- a-2jA-2p -4- C2 Jo — . . .-+- c„ii m) dx

1 aiQJ-^aiiîJ ^...~-a,„ilj"-^CoYf ^..

.^-c,„ir = 0

' «1 (0 ' -^ «2 t^'J; — . • • -^ '''2/< «'JJ'' -^ Co 'jj -)- . .

.^C„,y" = Cy

\ [h ^ -^p — /■ -\- i, . . .^ xp -i- m —

INTÉGKALES DOUBLES DISTIXCTl-S DH: SECONDE ESPACE. l\0\

ne (lépoiidroiit pas de y, si les c sont des constantes et si les a (pouvant dépendre de i') et les constantes c satisfont aux conditions suivantes (où les Cy sont des constantes arbitraires)

Si les a et les c satisfont à toutes ces conditions, on aura nécessairement, d'après les équations (9),

«1 qA -^ a, 07, -H ... -^ «2/- £2//' -h c. V;, + . . . + c,,, ^Ti = o ( h = xp — '' -f- I , . . . , -xp ^ m — [ — •: ).

11 est aisé de voir que Ton peut satisfaire à toutes les conditions S. Les éc[uations de la troisième ligne dans S font connaître les c. dont t — i' restent arbitraires; les deux premières lignes, dont le nombre total est 2/>, déterminent les a. Ceux-ci sont bien des fonctions rationnelles àe y. En effet, les équations ne changent [)as quand J' décrit un contour fermé quelconque. Ceci est immé-

^at quand j)^ tourne autour d'un des points singuliers b^, b-^

b-2p-r, et pour les points

"■>li-r-^\^ ••■) ''■2/H-in—l—-ï

c'est une conséquence des équations (9) et de la troisième ligne des relations ï. Quant aux autres points critiques, les ù (jui leur correspondent étant fonctions linéaires des 2/> -h m — i — t premiers, la chose est manifeste.

Il n'y a plus maintenant qu'à raisonner comme à la page 382 (t. II). On formera en se servant de l'intégrale

(«1 II — . . .-r- Cl2i,\->,,-^ Co.U -H. ■ .— C/,iim) dx

une intégrale de différentielle totale de la surface de nature transcendante (puisque tous les c ne sont pas nuls) et n'ayant aucune ligne logarithmique à distance finie; de plus, puisque tous les c ne

sont pas nuls, elle ne sera pas une intégrale de seconde espèce. Or ceci est impossible, et cette contradiction montre que l'hypothèse T >> /• est inadmissible; on a donc

C' est Le théorème que nous avons énoneé (n" 6^.

1"2. ( hie devient la démonstration précédente, quand -: = /•. IjCs équations

ix'.i Co -J- . . . -^ ii'/„ Cl = o (h = 9,p — r-hi, . . . , 2/) -f- m — i — /•)

sont alors en nombre m — i , et elles donneront pour tous les c la valeur zéro. 11 est impossible, en effet, que le déterminant des u. soit nul, car alors, d'après les équations (9), les ù de la ligne (-) ne seraient pas linéairement indépendants. Tous les c étant nuls, lanalvse du paragraphe précédent conduit à une intégrale de diflerentielle totale de seconde espèce, avec les ;• arbitraires

ce (pii est bien d'accord avec le fait que la surface a /■ intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce.