Prenons maintenant l'intégrale double

P( X, y, z) dx dy

le polynôme P{x,y, z) étant uniquement assujetti à passer par la courbe double. D'après l'étude faite dans la Section If du Chapitre XI (t. II, p. 35 1), et en nous servant des résultats précédents, nous sommes assuré que, si la surface n'a pas d'intégrales de différentielles totales de seconde espèce, il y a ip -\- m ~ i fonctions Q linéairement indépendantes, et, par suite, un nombre de périodes {au sens où nous les avons entendues dans toutes nos recherches antérieures) égal à

N — -ip — (m — i).

C'est le théorème fondamental de la page 354 (t- H)- Qu6 devient ce résultat, quand la surface a, comme ci-dessus, /■ intégrales

INTÉGRAI.KS DOl lîl.KS DISTINCTHS Dl- SKCONDK KSPi'CB. ^o3

de (lillV-reiilielles totales de seconde espèce? Ily a alors seulement, comme il \ ienl d'être élal:)!!,

ù linéairement indépendants. On \oit bien facilement la modification (pie ceci amène' dans Ions les raisonnements. Le nombre des périodes est alors égal à

N — ( 9./> -4- m — I — /• ), c'est-à-dire

On trouve ces périodes par les mêmes combinaisons cpae plus haut, et l'on démontre par la même voie leur indépendance.

Sur le nombre des conditions exprimant qu'une intégrale double est de seconde espèce.

11. Nous avons reclierché précédemment (t. 11, p. 210) quel est le nombre des conditions exprimant cpi"«/<c intégrale double ae la forme

r r \'^ r. y, z) dx dy ^'"^ ././ ^-Ji

est de seconde espèce. Nous avons trouvé que ce nombre est an plus égal à ip.

Ce résultat a été ensuite précisé (t. II, p. 328), et il a été démontré que ce nombre est certainement égala >,/>, quand V équation E n'admet pas comme solution un polynôme.

Nous sommes maintenant en mesure d'approfondir encore davantage la cpiestion et dax-rixer à un résultat définitif.

lo. Supposons que la surface admette /• intégrales de diflérentielles totales de seconde espèce. Nous avons vu (Section I) (pie l'équation E admet comme solutions /-polynômes linéairement indépendants. Que va-t-il arriver pour l'équation E'? Nous allons P. i.r S., II. 27

montrer qaV//e admet comme solutions r polynômes en y, en outre des m — r polynômes correspondant aux points à Vinjiui. Dans le voisinage d"un point singulier ^, Téquation E' admettra le système fondamental qui pourra être formé des fonctions

(Oj. (.4, ..., Wi/;-l. lOÔ/i- -2, .... -,„,

les r. étant des jiol^nomes, les (o' étant tous liolomorplies autour de b^ sauf 1 un d'eux (o' ^ qui a un point singulier logarithmique en h. A ces w' correspondent ip CA'cles distincts sur la surface de Riemann.

Dautre part, si nous revenons à léquation E, elle admettra autour de h le système fondamental

(Oi, (02, .... tOo/;i, OJo/,,

les (.0 correspondant aux mêmes cvcles que les co', et étant liolomorphes autour de Z>, sauf le dernier Wo/j-

On peut associer deux à deux les intégrales des équations VJ et E, nous voulons dire les intégrales de E' et E correspondant à un même cycle. Soit, pour une valeur non singulière A de jv" (e^ son voisinage), deux intégrales

id et II,

ainsi associées et correspondant à un cycle F; allons dans le plan de jK pf>i' i^iii chemin déterminé du point A à un point 3 voisin du point singulier b. On aura, en 3,

U = Iiim[ — hyK)'.2 -f-. . .-T- ll-2/,o/.2p -r- /"o TT2 — . . . -f- /(,n~m, U — /*lWi — /(oCOj —...-+- h-yp^ip,

les h et les A" étant des entiers; il est essentiel de i^emarquer que les h sont les mêmes pour u' et pour u, mais que pour a il y auia en général de plus des termes en t:, car il est possihle que le passage du CAcle r aux cycles correspondant aux (o (et aux lo') se fasse en traversant des points à linfini, et c'est de là que proviennent les termes en r..

Ceci posé, supposons que le cycle F corresponde à une solution de E qui soit un polynôme. L'intégrale u étant dans ces conditionsun polvnome, il faudra nécessairement que, dans l'expression de Uy à l'aide des o), on ait

h-în = O

IMÉCRALKS DOlliLI-S DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. L[OJ

|)()iir que b ne solt pas un point singulier logarilliniique. Mais alors d' sera aussi liolomorplic aiiloiir du poinl ù. Celui-ci étant un point singulier quelconrpie, ///sera iiolomorplie autour de tous les points singuliers et, pa/- s/file, sera un polynôme.

Ainsi, à tout polynôme vérifiant l'écpiation E, corresf)ond un ])olynome vérifiant l'équation E'. La réci|)r()quc résulte d'ailleurs de la niéme analyse. A^oits aurons donc comme soluiions distinctes de l'équation E', en deliors des m — i j)olynomes 7t, un nombre de polynômes précisément égal à /■, comme il a été énoncé.