résulte de là que les résidus de l'intégrale double

P(.r, y. z) dx dy

relatifs à la courbe à Tinfîni, ne sont pas en nombre supérieur à ip — /•. Ces résidus sont en efi'et égaux aux valeurs des intégrales

j oïi(y)dy et l7Zk(y)dy

prises autour du point à l'infini, et il ne peut y en avoir manifestement plus de ip — /• distinctes.

Il faut montrer maintenant que l'on peut choisir le polynôme P(.2', jK, ^) (passant bien entendu par la courbe double) figurant dans (6), de manière que ces 2/> — r résidus aient telles valeurs que Ton veut. 11 sera par cela même établi c[ue le nombre des conditions, exprimant que V intégrale double (lo) est de seconde espèce, est précisément ip — r.

17. Nous n'avons Cju'à raisonner à peu près comme à la page 328 (t. II) quand nous a\ons démontré ce théorème pour ;• = o. Prenons une intégrale (lo) déterminée d'ailleurs arbitrairement, et soient, autour de y = x, les développements

Pour k pris assez grand, les 'ip — /• expressions linéaires

(u) ai a, '' -^ a-i a, ^''' "" -\- . . .-^ ciu^j^ (i = i, i, . . ., ip — /•)

/,o6 CHAPITRIÎ XII.

aux indéterminées

«1, rt-2, • • -1 «^A

sont linéairement indépendantes; car si, pour toute valeur de /.-, ces expressions linéaires n'étaient pas indépendantes, tous les déterminants d'ordre ip — r formés avec les vr^ seraient nuls, et l'on pourrait former une combinaison linéaire des w/ se réduisant à un polynôme, ce qui est impossible. Le nombre k étant pris donc de manière que les expressions (ii) soient distinctes. en\isageons lintégrale douille