JJ

OÙ Ion pose

z>(y) = «iJk''^' -i- «oJK''"^ -f-. . .-V- a/.-iJ' + «/.,

les a étant des indéterminées. Les ip — r résidus de cette intégrale double sont, au facteur ■ir.i près, les expressions (i i).

D'après ce qui précède, on peut cboisir les indéterminées a de manière que ces expressions aient telles valeurs que l'on veut. Le théorème énoncé est donc établi, c'est-à-dire que :

Le nombre des conditions exprimant qu une intégrale double de la forme (lo) est de seconde espèce, est exactement égal à ip — /'.

Si nous revenons au nombre /?, relatif à la connexion liuéauc de la surface, on a

et le nombre des conditions est 2p — {pi — i). Ce résultat va nous être très utile pour obtenir le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce quand pi est supérieur à un.

Calcul général du nombre po des intégrales doubles distinctes.

18. De tout ce qui précède, il résulte que la formule fondamentale

(12) Po = N — 4/> — ( "i — i) — ( p — i).

IMÉ(;RALES DOl.BLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. /4O7

établie (t. II, [>. 3y3 ), sauf pour certains cas réservés, est toujours applicable quand la connexion linéaire est égale à V unité.

II nous reste à examiner le cas où la connexion linéaire est supérieure à un, c'est-à-dire (juaud il y a un nombre /■ d'intégrales de seconde espèce (/•>> o). La cpicstion sera facile, avec les résultats des sections précédentes.

J^es deux points essentiels dans l'établissement de la formule cidessus ont été les sui\ants : en premier lieu, l'expression

N — ip — {m — I )

du nondjre des périodes (au sens où nous entenrlons ce mot) de lintégrale double du tvpe toujours considéré

'■ V {t, y, z ) dx dy

et, en second lieu, le nombre des conditions exprimant que Tinlégrale double considérée est de seconde espèce, nombre égal à

ip.

La dilTérence de ces deux nombres donne le noudjre Oq. à l'expression près 0 — T, dont l'origine n'a rien à voir avec la connexion linéaire.

jl Ces deux nombres doivent être modifiés comme nous 1 a\ons vu dans les numéros précédents: le premier est à remplacer ( n" 13)

par

et le second doit être remplacé (n" 17) par

■ip — /•.

En faisant la différence de ces deux nombres, nous trouvons

et, par suite, la formule (12) doit être remplacée par la suivante r

Po = N — 4/J — (m — i)-H'2/- — (p — 1).

Nous pouvons donc énoncer le résultat fondamental suivant : Le nombre Oq des intégrales doubles distinctes de seconde

4o8 CHAPITRE XII.

espèce est donné par la formate

po = N — 4/; — (/» — i) -T-2/- — (p — i).

Je rappelle la significnlion des lellres aulres que /• rigurant dans celte formule : N est la classe de la surface, p le genre d'une seclion j>lane arbitraire, m le degré de la surface; quant à p, c'est le nombre relatif à la surface, tel qu'il est défini par le théorème fondamental sur les intégrales de clifFérentielles totales de troisième espèce et dont je rappelle la définition : On peut tracer sur la surface p courbes algébriques irréductibles C, telles qu'il n'y ait pas d'intégrale de différentielle totale de troisième espèce n'ayant d'autres courbes logarithmiques que la totalité ou une partie des courbes C, mais telles que, si on leur adjoint une autre courbe algébrique irréductible quelconque de la surface, il y ait une intégrale de troisième espèce n'ayant comme courbes logarithmiques que cette dernière courbe et la totalité ou une partie des courbes C.

19. Dans toutes ces études, il a été supposé que la surface n'avait que les singularités dites ordinaires, c'est-à-dire une courbe double avec points triples sur cette courbe qui ne présente d'ailleurs aucune particularité exceptionnelle. C'est dans ces conditions qu'ont été établies toutes les formules des pages précédentes.

Si, outre ces singularités, la surface possédait des points doubles coniques isolés, la complication ainsi introduite ne serait pas grande ; nous allons examiner ce cas.

11 nous faut revenir aux singularités de l'équation (E), que nous avons discutées dans le Tome I (p. 90 et suivantes). La surface étant rapportée à des axes placés arbitrairement, les points singuliers correspondaient aux valeurs b telles que le plan r = h lût langent à la surface. Maintenant, aux véritables plans tangents parallèles au plan des xz^ c'est-à-dire aux plans tangents en des points simples de la surface, il faut ajouter les plans parallèles au plan des xz passant par les points doubles isolés. Un tel plan, que nous désignerons parj'=:c, correspond bien à un point singulier de l'équation (E); pour j' \oisin de c, la courbe entre x et ;:

a deux points de ramification voisins, qui se confondent avec le

i.\T(^:r,iiALi:s dolblks distinctes ni: si-.condi: nspfcCE. 4<^9

^)<>\nl (loiil)le isolé de la surface. Les circonstances seront donc les mêmes que pour le plaiij)' = 6. l^es points c sont, pour Téqualion (E), des points singuliers logarithmiques de même nature que les points ^ (')• Donc, en désignant Ion jours par N la classe «le la surface et d le nombre des points doubles isolés^ le uomljrc total lies points singuliers de (E) sera

On se rappelle d'ailleurs que l'intégrale double

Q(t, y, z) fl.r dv

If

fi

restera finie à dislance finie, pourvu (pie le polvnome Q s'annule sur la courbe double; aucune condition n'est relative aux points doubles isolés (points coniques), comme on l'a vu (t. I, p. i84). Il résulte de là que, dans tous les calculs et tous les raisonnements faits dans ce Chapitre et les précédents. N doit seulement être remplacé par N H- d. Nous aurons donc, au lieu de la formule donnée au n" 18, la formule plus générale, relalUe ait cas "fi la surface a, outre la ligne double, d points doubles isolés

ç,o = ^ ^ d — '\p — ( m — ij ^ 1 r — ( p — i ).

Telle est l'expression générale du nombre Oq des intégrales blés distinctes de seconde espèce. Quant au nombre des périodes telles que nous les envisageons, de V intégrale double

dou

Qfa", r. z) dx dv

où le polvnome Q est assujetti seulement à passer par la courbe double, // est égal à

N -f- <i — ip — (m — i) -^- /•, qui est le nombre du n° 13, en remplaçant A par N + d.

(') Il y a seulement la difTérence suivaiiLe par lapporL à ce que nous avons vu (t. I, p. 97) : Pour un point 6, nous avions une certaine intégrale holomorphe qui a été désignée plus tard par Q, et toute période de l'intégrale envisagée se reproduisait, après une circulation autour de b, à un multiple près do 9. ; ce multiple pouvait être de parité quelconque (il pouvait être notamment égal à fî). Pour un pointe, le multiple sera toujours pair; mais cela n'a aucune importance pour toutes les déductions relatives au nombre p,,.

4lO CHAPITRE XII.

Sur certaines expressions invariantes.

20. Le nombre Cq, dont nous \enons de donner ici 1 expression «générale, est un invariant absolu de la surface, comme il a été vu précédemment. Si donc l'on considère deux surfaces y et y se correspondant point par point, et avant seulement chacune comme singularités une ligne double a\ec points tiiples, et, en outre, des points doubles isolés, on aura, en marquant par un accent les lettres relatives à 1k surf;ice /'.

et, par suite. puisc[ue évidemment /• = /',

N -!- (/ — ^p — {m — 1 ) — p = ^i' -\- cl' — 4/^' — ('"' — ' ) — p'. Cette formule appelle plusieurs remarques intéressantes.

;2i. Supposons que, dans la substitution ([ui transforme y en y, il \ ait F points fondamentaux A ( points simples ou points doubles isolés) sury, et F' points fondamentaux A' (points simples ou points doubles isolés) sur /'. Xous allons facilement obtenir une relation entre p, p', F et F'.

D'après la di'finition de p, on peut tracer, sury, p courbes algébriques irré'ductibles C (qu'on peut suj)poser ne pas passer par les |)oints A ) telles qu'il n'y ait pas d intégrales de troisième espèce n'ayant d'autres courbes logaritbmiques que la totalité ou une partie des courbes C, mais telles que, si on leur adjoint une autre courbe algébrique irréductible quelconque de la surface, il y ait une intégrale de troisième espèce n'ayant comme courbes logarithmiques que cette dernière courbe et la totalité ou une partie des coui^bes C.

Ceci posé, envisageons sury les courbes

c;, c;, ..., Cp

correspondant à

C, C, .... Cr.

I.MÉCiUALES DOl lll.KS DISTINCTKS I)i: SKCO.NDi; KSI'kf:!:. .J I I

\ti\ poiiils A tle f corrcspoiidioiil sur /' des conihes ^V en nombre F, el aux |i()inls A' de /' eorres|)()ndront sur f des courbes <I> eu nombre F'. On jx'ul formel-, pour la surface /, F' in-

léi^rales de Irolsiènie espèce k,, K^ Kp correspondant aux

eourl)es C el à cliaeune des courbes <!>. Ces intégrales, sur la surface /"', ont en Icjtalité ou eu [)ailie, comme lignes logaritlimi([ues, les courbes C et <^' (qui sont eu nombre o + F). Désignons-les,

sur la surface /', par

Il n'est pas j)0ssible que

car alors ou pourrait ft)rmer (en annulant les périodes logarithmiques) une combinaison linéaii'e

A 1 K'i -h A, Ko -H ... -h Ak Kp,

où les A ne seraient pas tous nuls, et qui n'aurait pas de courbes logarithmiques sur /', tandis rpi'elle en aurait sur /". Concevons maintenant que Ton fornu^ le tableau des périodes logarithmiques de

K'i, k;, ...; Ki-,

pour les courbes

G',, c;, ..., Gp *'i, *;, .... 'Jv,

en mettant sur une même ligne horizontale les périodes correspondant à une même courlje. Il n'est pas possible, pour la même raison que plus haut, que tous les déterminants d'ordre F' formés avec F' lignes de ce tableau soient nuls. Soient donc, parmi lesC et les <!>', des courbes que nous appellerons T en nombre F', pour lesquelles le déterminant correspondant n'est pas nul.

Nous allons montrer aisément que, si des C et $' on supprime

les r, on a

pH-F — F'

courbes T', jiouvant être prises pour les p' courbes de/' répondant sur celte surface au théorème fondamental sur les intégrales de dilï'érentielles totales de troisième espèce, de sorte que l'on aura

4l^ CHAPITRi: XII.

En effet, tout d'abord il n"v aura pas d'intégi'ale de troisième espèce correspondant aux courbes F', car. en revenant à y, 1 on voit (luunc telle intégrale serait nécessairement de la forme

Al K'j -H. . .-H Af'KÎ-' (les A non tons nulsj,

et, par suite, le déterminant des périodes logarithmiques formées avec les courbes F serait nul.

D'autre part, soit une courbe L' quelconque de f\ on peut former une intégrale de troisième espèce n'ayant d'autres courbes logarithmiques que L' et la totalité ou une partie des courbes F'. Si l'on revient, en effet, à /", on pouri-a former une intégrale correspondant à la transformée L de L' et aux courbes C; en revenant ensuite à /', on a une intégrale J', ayant comme courbes logarithmiques L' et la totalité ou une partie des courbes C/ et fl>'. Formons alors la combinaison

J' -f- A, K, -H . . . -f- A| Kl. ;

on peut choisir les A de manière à faire disparaître dans cette combinaison, comme lignes logarithmiques, les courbes F (le déterminant relatif aux F n'étant pas nul), et il reste seulement les courbes F', comme nous voulions le montrer.

Nous avons donc la relation suivante, iniporlanle poui- noire

objet,

22. Revenons maintenant à la relation du n" 20; elle pourra s'écrire

(i3) N -^d — \p — {m — \) -hF = N'-f.^'— 4// — (m'— i)-^F'.

C^ est une relation d' invariance relative d^ une forme remarquable entre deux surfaces se correspondant point par point; il Y figure, comme Ton voit, les nombres àes points fondamentaux de la correspondance sur l'une et l'autre surface.

On ^ ient de voir l'importance de la combinaison

dans la théorie des intégrales doubles de seconde espèce. Or cette combinaison s'est déjà présentée dans la théorie géométrique des

i.N rfi(;iiALES Doriii.KS nisri.NCTEs dk secondI': esi'I;(:i:. 4i3

sui'faces algél)riques. Dans le Mémoire de M. Nother [^«/- Théorie des eindeuli^en Enisprecheins algebraischer Gebilde [Math. Annalen, t. Vlll)] on trouve (nolaininent p. ooj) la combinaison ( ' )

/(' — xa -I- 3 /i.

Avec nos nolalions. ou a

n = I\, Il = m. a = •>.( n — i) — 2/),

ce qui donne

On trouve, à la page citée du Mémoire de M. X(")ther, la formule relative à deux surfaces /" et /', se correspondant [)oiut par point,

Dans cette formule, ^'j. d<''si"ue la somme des multiplicités de tous les points fondamentaux de /", augmentée de la somme des mulli|dicités des points multi[)lcs de f qui ne sont pas points fondamentaux (tous les points multiples envisagés étani des |)oints isolés), et pareillement pour Sa, relativement à /', ,

Notre formule (i3) coïncide avec la formule (i4) de M. iNcilher, Hauf que. dans le cas de M. Ncitlier, peuvent se trouver des points multiples isolés d'ordre sup(M'ieur à deux, cas que nous n'avons pas examiné dans notre tliéorie (-).

Il est bien remarquable de voir ainsi établi un lien entre deux points de vue si différents, celui de MM. Zeuthen et Ntither et des géomètres qui les ont suivis dans l'étude géométrique des surfaces, et le point de vue transcendant auquel se rapportent nos recherches sur les périodes des intégrales doubles dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables.

(") jM. Zcuttien {Math. Annalen, t. IV, p. 87) avait déjà formé un invariant relatif analogue, qui a été aussi étudié par .M. Segre. Beaucoup plus récemment, -MM. Casteluuovo et Enriques ont aussi rencontré la même combinaison {Aniiali cil Matemalica, 1901) dans une étude remarquable sur les systèmes linéaires de courbes d"une surface.

(-) Il serait intéressant et sans difficultés réelles de combler cette lacune, mais ceci demanderait quelques développements. Il nous suffit, dans l'exposé de la théorie générale, de considérer les singularités ordinaires.

4l4 CHAPITRE XII.

^3. Nous terminerons ce Chapitre en faisant une application de la formule générale établie ci-dessus. On peut tout d'abord se demander cjuelle est la valeur de Oq pour la surface la plus générale de degré tyi. Pour répondre à cette question, il faut avoir la valeur de 0 pour cette surface. On peut montrer que pour celte surface, quand m est au moins égal à quatre, on a

Ce résultat peut se déduire dun théorème donné par M. Niither dans son célèbre ^Mémoire relatif aux courbes gauches algébriques [Mémoires de ricadémie de Berlin , 1882, n"^ll et 12), à savoir que, sur la surface la plus générale de degré ni\in^^), toute courbe cdgébric/ue est l' intersection complète de la surface avec une autre surface algébrique ('). En eflet, soit une courbe C, de la surface, intersection de celle-ci avec la surface de degré nl^

Fi(^', J'î ^) = o.

Prenons une autre courbe quelconque C^ ; celle-ci sera l'intersection de la surface avec une autre surface de degré //io,

11 suffit de prendre

logîi-

pour avoir une intégrale de difterentielle totale n'ayant d'autres courbes logarithmiques que C| et Co ; donc 0 = 1. En appliquant la formule

po = ^' — 4/^ — ( '« — 0 — ( p — I),

on trouve, puisque 1 on a

jN .— ni (m — ij-

(') A la vérité, la clémonslration de M. Nuther fondée sur une énuméralion de constantes ne peut être rcijardée que comme rendant le théorème très vraisemblable, et il y aurait lieu de revenir sur la question. On conclut encore de ce théorème que, pour la surface la plus générale de degré m{m>fi), toute intégrale de différentielle totale est une combinaison algébrico-logarithmique (voir une Note de M. Picard publiée dans les Comptes rendus, 22 février 1904. où sont d'ailleurs indiquées diverses applications particulières sur lesquelles nous reviendrons an Chapitre \IV).

I>TÉ(iRAI.KS IJOllU.l'S DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. 4 ' ^

le icsulUiL siii\anL

pt) — ( m — I ) ( /n- — '5 /)i -h i )

coiiime nombre Oy pour l;i snyi'-^icc s^r/iè/a/e de dej;r('' /?H/«i^4)-

24. Nous avons dt'-jà insisté (i)oi/\, par exemple, t. IJ, p. 323) sur la dépendance entre p et la nature arithmétique des coefficients de la surface. Aussi ne famlrait-il pas conclure de ce qui |)récrde que Ton a p = I pour toute surface de degré m sans points multiples. \insi nous avons montré (t. Il, p. 28^) que, pour la surface

z"' — xm ^ V{y) ( m ;4 i I, où l*(j') est un polvnome arbitraire de degré /;?, on a

p = ( /" — I )- -i- I , ce t[ui donne

Po = I /» — i) (/n — -1)-.

l2o. f^renons encore quelques surfaces particulières. Soil la surface unicursale y définie en coordonnées homog«"'nes jjarles écpia-

lions

f\^f>,fi et /li étant des polynômes homogènes de degré n en a, [ii ^ et ". On siq^pose que les courbes

aient a points simples communs ne répondant d'ailleurs à aucune disposition particulière.

(3n a manifestement pour la surface

Clierclions la valeur de 0. Auxc/ points fondamentaux à\.x plan (a, ^i, y) que nous désignerons par /' correspondent sur la surface f des courbes distinctes

de plus, il n'y aura pas sur f de points fondamentaux. Appliquons

la formule du n" 21

4l6 CHAP. XII. — INTÉGRALES UOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE.

on a

Par suite

Il ne reste plus qu'à calculer la classe N de la surface; ceci est élémentaire. Les axes a^ant une disposition quelconcjue par rapport à la surface, il suffira de chercher, la surface étant représentée par

les points de la surface où le plan tangent est parallèle au plan des yz. Ils sont donnés par les deux écjualions

àA

àA

àA

iJX

ày

àA

~ àA '

àA

dv.

dont les solutions communes sont en nombre 3(/^ — i)-; on a

donc

La formule donne alors

ce qui devait être, puiscpie la surface est unicursale et n'a pas par suite d'intégrale double de seconde espèce qui ne se ramène à la forme

dx ay ^

Ox ôy Uet V étant r.itlonn elles en x. y et r.

SUR LES NOMBRES DES INTÉGRALES DE DIFFÉnE.MIELLES