D'UNE SURFACE
Sur une inégalité entre /■ et oj„,3, relative à la connexion linéaire.
1. Nous allons t-tahlir une inégalité importante relative à la connexion linéaire iriine sni-face. Commençons par quelques remarques concernant les roiirlteç algébriques, doù se déduira l'inégalité cherchée.
Tout daboi'd les p intégrales abéliennes de première espèce d'une courbe algébrique ne peuvent avoir dans leur ensemble moins de ip périodes; dune manière générale, soient ( <] <C. p) i^q intégrales de première espèce distinctes
lo,
d'une courbe algébrifpie; nous allons montrer que le nombre de leurs périodes (dans leur ensemble), ou. si l'on aime mieux, que le ncnnbre des périodes, aritliinéliqueinent distinctes, d' une combinaison linéaire aubituaikk de ces intégrales , ne peut être inférieur cl 2^. Supposons, en eliet, qu'il en soit autrement et qu'il y ait seulement 2 </ — s périodes; on pourra axoir, pour l(is 1, un Taldeau de périodes, correspondant à ip cycles distincts de la courbe algébrique (ou de la surface de Riemann correspondante), qui sera de la forme
Ct'1,1 «'</,-2
4l8 CHAPITRE XIII.
le nombre des zéros dans chaque ligne étant ^p — -iq-^-s. Si Ton prend maintenant d'autres intégrales de première espèce Ia+i, ...,!/, formant avec les I,, lo, . . . , I^ un système de p intégrales distinctes de la même espèce, le Tableau des périodes se complétera par
2. Ceci posé, rappelons-nous que Ton peut former, étant «lonnée une courbe algébrique, une intégrale de première espèce, pour laquelle les parties réelles des périodes relatives à ip C3'clcs distincts ont des valeurs arbitrairement choisies; c'est là un point classique dans la théorie de Riemanu. Or formons la combinaison
(ai-f-î^i)I,-^...-H(a/, + t|3 /;)!/, ;
on doit pouvoir choisir les constantes réelles a et [j de manière que les parties réelles des périodes de (1) aient telles valeurs cjue l'on voudra, pour les 2/? cycles correspondant aux 2p colonnes verticales du Tableau ci-dessus. Or, si l'on é2,ale à
valeurs données les parties réelles des périodes correspondant aux 2/> — 2q -\- s dernières colonnes du Tableau, on aura 2/? — iq ^ s équations linéaires entre les inconnues
lui sont en nombre
ip—'i.q.
Le nombre des inconnues est inférieur de 5 au nombre des équations; ceci entraine nécessairement des relations entre les parties réelles données des périodes, ce c[ui nous conduit à une contradiction. // est donc impossible de sup])oser que s est différent de zéro, et le théorème énoncé au n" 1 est établi ( ' ),
(') Sur celle queslion 011 pciil consiiller le Mémoire de .M. E. Picakd [Sur la détermination du nombre des périodes des intégrales abéliennes ( Bulletin de la Société mathématique de France, t. XI, i883)].
i.MÉiiRAi.KS luTAi.Ks i)i: i'HKMif';Hi: i:t 1)i; skcom)!-; i-si'i:(:i:. 4 19
'A. ConsuU'ions iiiauilenaiit, eu pii-iuicr lini, une surface algébrique réguliiTc, cest-à-dire pour lii([uelle p^^^p^ (^voii\ pour celte (léfuiitictu, l. II. j). 89). I/euseuihle des adjointes d'ordre ni — 3, de la siirlace donne, mit le j)lau
i'euseudjle des adjointes d ordre /n — ■') de la courbe (2) /(^,.r, -.» = <>,
la surface étant. I)ien entendu, représentée pary*(j7,j^, 3) = o.
Les inté<;ra]es de jjreuiière espèce de la courbe précédente [2) seront représentées par
(3) I -yr (/'=I,-.'.,
Ph
()/f = o représentant une surface adjointe d'ordre m — ) de la surface /. Je suppose que la surface admette /• intégrales distinctes de seconde espèce. D'après ce que nous avons démontré antérieurement, il V a /• cycles distincts ( voir Clia[)itre précédent, n" 0) donnant des périodes qui s'expriment jjar des polynômes en r. Prenons nos intégrales (3); ])armi leurs 2y> périodes, il y en a /qui sont des polynômes en r. Or développons dans le voisinage de T = X une pf'-riode d'ailleurs (pielconrpie de (3). Cela sera facile, en jiDsant
Si 1 on a. en i;r()upant [)ar terme> liomogènes.
on voit de suite fpiune période quelconque de [Z), pour y très grand, est de la forme
où y. représente une péiiode de l intégrale
''//, U/". I , Cl d.r , , ■ - 1 1 / X 1 ■ [relative a la courhe o{j', r, z) = oj.
Or considérons les r périodes de (3), c[iii sont des polynômes enjK- Daprès la forme précédente (4), elles sont identiquement nulles. Nous sommes donc conduits à cette conclusion, que les p intégrales (3) de première espèce ont /• périodes nulles, correspondant à /' cycles distincts de la courbe entre ^ et ^ représentée par J(x, y, Z-) =^ o. Nous pouvons maintenant appliquer les remarques faites plus haut; la courbe précédente a toutes ses intégrales de |jremière espèce, qui ont seulement '2p — r périodes.
Ceci entrai ne
Ainsi se trouve établi le théorème suivant :
Une surjace régulière na pas cV intégrales de différentielles totales de seconde espèce {transcendantes).
Cet intéressant théorème a été démontré pour la première fois par M. Severi (' ) en se plaçant au point de vue de la théorie géométrique des systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface. La démonstration (-) qu'on vient de lire rattache très simplement le théorème aux méthodes des Chapitres précédents.
i. Allons plus loin et appliquons le théorème préliminaire du n° 1 dans toute sa généralité. Supposons que la surface / se présente dans les conditions sui\antes : elle est irrégulière, et sur un plan quelconque les adjointes dordre m — 3 de f découpent un système linéaire de courbes dordre m — 3 dépendant seulement de /> — to,„3 paramètres arbitraires ((.o,„3 >- o). Nous pouvons former p — ^)m-:\ intégrales distinctes de première espèce de la courbe entre :r et ; représentée pary = o. qvii seront de la forme
où ()f, ^ o est une adjointe dordre m — 3 de la surface.
(•) F. Severi. Sut/a superficie algebriche che possegono integrali di Picard delta secunda specie {Rendiconti delta R. Academia dei Lincei, septembre i9"i)-
(-) E. Picard, Sur quelques théorèmes relatifs aux surfaces algébriques de connexion linéaire supérieure à l'unité {Comptes rendus, i6 janvier igoô).
ixTÈGKALHS TOTAi.Ks i)i: i'iti;Mii:iîi: KT i)i: SHcoNDi; i;si'i;(;i. Vu
Or, eu ralsoiiuiiiil coiiimc ('l-dcssus, il est clair que 1 cnseiiililr (les inlrgrales ( . > ) a sciilcnicnt if) — /• jx^iodes arilliiiK''li(|iictiicut (lislincles, |)uis<jtie /• périodes corrcspoudaul à des cycles dislincls soiiL des polynômes s'amiiilaiil pour y = oc, et, par suite, ideuticpieinent nuls.
Nous pouNons alors appliquer le théorème |)réiimiiiaii'e du u" 1. Nous a\ons p ■ — ('),„•{ intégrales d une courbe algébrique avec >.j) — /■ périodes seulement; le noniljre des périodes étanl au luoins doubb' du n()nd)re tle-^ iul(''grales, on a
c est-à-dire
C^esl une inégalité ImpoiUante {^)\ comme, d'ailleurs, d'après la définition même de />„ — p,i (page <S8 de ce volume), on a
il en résuite que
(7) '■^■lip^—pn).
Nous re\ lendrons à la lin (b- ce Cba|)itre sur I iu(''galil<'' (6), pour en déduire un lb(''orème r(datd" aux adjointes d une ^uilace ' alg(''bn(pie.
Sur une propriété de l'équation linéaire I>, et sur une inégalité
qui s en déduit.
o. Indiquons une |n'opriété de bécpuilion ditrérenlielle linéaire E, (pii \a nous être très utile. En [)renant ?. p périodes distinctes
(8) co,, to.. ..., M.i,
d'une intégrale de seconde espèce du type toujours envisagé, nous
') V.. Picard, Sur une inégalité relative à la connexion linéaire et sur le calcul (lu genre numérique d'une surface algébrique ( Comptes rendus, ■i juillcl 1900).
\t.2 CllAPITIti: Xlll.
avons vu an Chapitre préciMlenl ([Lie le groupe de léquation E laissait invariable une expi'ession, classique dans la tln-orie des lonclions abéliennes, de la forme
les c étant des entiers de d<':teruiiuant //// ( Cih^= — 'a/), quand on effectue à la l'ois sur les w et les j une siil)stituti(»u du i;i'oupe. Or il y a ;■ périodes, soient
qui sont des |)olvn()uies en i'. Dt'signons, coniine nous lavons fait antérieurement, [)ar
les 2/> — /■ autres périodes distinctes, soumises entre elles à des substitutions linéaires j)ar la cireulalion de )•. Le «groupe qui nous occupe a ses subslitulioiis de la lorme
(I).', = (Oj,
Q\ =a„i>, -«..ii.
l,5/)-r -il}-!-
Avec ces nouvelles notations, il faut (Considérer dans l'expression (()) (pic
sont respecti\ émeut ('gciux à
Rappelons (pie nous a\ons établi (j). 097) que les ti satisfont à une écjuation dillerentielle linéaire Eo d'ordre ip — r k coefficients jationnels en r; en léalité, c^est r équation E„ qui joue le principal rôle dans notre théorie, jtlus encore que l'équation E.
Il V" a dans (()) des termes on i et /." sont tous deux au [dus ('■gaux à /•, d'autres termes où ils sont tous deux supérieurs à /•, et enfin des termes où lun de ces nombres est au plus égal, l'autre supérieur à /•.
I.NTÉGKALKS TUIAI-ES 1)K PKKMlfelU: T.T DK SI-.r.OM)E l-SPfeCE. !i9.'6
Soll A</- et />»/•. l'oiii- ([lie la i'onne ('(>) soil iii\ariaiitc, on devra avoir la somme
(où A' reste fixe, et / \arie de /• -{- i à 9/> ) elle-mcMue invariante, c'est-à-dire cjue la somiiie prc'ccdente sera une fonction nnifonix; dej^, par suite un polynôme. Mais, si /• a rlv bien choisi, il n v' a pas de combinaison lint'-aire des 12, qui se réduise à nn j)olA'nome en I , saul' le cas où tous les coefficients sont iiuU. On a donc
nécessairement
Donc, dans la somme (9), il v" a deux catéi;(tries de termes, cenx qui dépendent des (o et ceux qui dépendent des lî. \ous pouvons donc r«''crire sous la forme
(10) ^ f,7, U», J/, -r- \ C/// iî/ V/. ,
i el /,■ \ariant de kh à /•, tandis que i' et A' varient de ///; à 2/> — /", et l'on a toujours
Le déterminant lolal des c est éi;al à lunité; or d est \isiblement égal au produit des deux déterjninanls
|c,7, 1 et |c/'A--|.
Ceci entraîne tout d'abord (jue /• soil pdir, car un déterminant symétrique gauche d ordre impair est nul. \ous avons donc; ce théoi'ème :
Le nombre r des intégrales dhtincles de diffère n lie lie s totales de seconde espèce est nécessairement pair.
6. Nous pouvons encolle tirer des considérations précédentes une autre conséquence. Il est d'abord bien connu qu'en effectuant sur les co (et les j) une substitution à coefficients entiers et de déterminant itn. on ])eut ramener la première somme figurant dans (10) à la forme canonique
4^4 CHAPITRE Xlir.
et Fun peul a^oi^ la forme canonique analogue pour la seconde somme. Delà, nous concluons qu'ai-ec les r cycles correspondant aux w. on peut faire - rétrosections de Riemann
puis a^ ce les j.j> — - /• cycles rorrespoiidant aux SI on peut faire
p rétrosections
(Ca, D',.) (|a = i,.., ...,p-'Sy
Ce résultat précise l)ien la disposition de ces diftV-rents cycles.
/. -Nous allons en déduire de suite une inégalité entre le nombre /• des intégrales simples de seconde espèce, et le nond)re r^ des intégrales simples de première espèce. Soient
les p intégrales de première esjièce de la courbe entre x et c, fi^x. y. z) = o. Si la surface a des inlt'-grales de première espèce, on pourra trouver, d'après un raisonnement fait bien des fois, des fonctions rationnelles «,, «j, ..., ctp de y, telles que l'inté-
grale abéllenne
«lll ^«ilo -+-■ ■ .-r-.-//, I/,,
relatl\e à la courbe précédente ait ses périodes indépendantes dej'. Or. pour une intégrale de première espèce, on ne peut se donner que les périodes relatives à p cycles, appartenant à /> rétrosections de Riemann, soient ici les C/ et les C/.. Mais |)our les C;;. les périodes de toute intégrale de dilTérentielle totale de seconde espèce sont nécessairement nulles (ainsi que pourlesD^); nous pou^ons donc nous donner seulement tout au plus les - constantes relati\es aux C/. Ce qui nous donne l' inégalité
IMÉC.UALKS ÏOTAI.KS I)i: PlU' MitUE KT DE SKCONDE nSI'iXi;. 4^5
Quelques théorèmes sur les nombres des intégrales de première et de seconde espèce.
8. Etablissons encore une int'galit('î intéressante. Tout d'abord nous ne (hminuons pas la généraHlé en sujiposanl qu'il s'agisse d'une surface pour la([uelle
c est-à-dire pour laquelle tous les défauts to/i i^voi/- p. 88) sont nuls quand h'^m — •>. ; ceci r«'sulte [roi/- p. 128) de ce que l'on |)eut tracer sur une surface un système linéaire S de courbes, pour lequel le système adjoint découpe sur chaque courbe un groupe de points avec le défaut maximum p^ — p„. Si alors on fait la transformation babiluelle, en utilisant un système à trois j^aramètres faisant partie de S, on aura réalisé la condition siqiposée. Pour éviter toute confusion, nous poserons dans la suite (o,„3 = 0. Les p intégrales de première espèce de la courbe entre .r et :;
sont alors susceptibles d'être représentées par
, , rQ,(.r, y, z),lr
(II) / ^ j. (f = [,■>., ...,/^ — o),
(vi) j j (A= I, ■>., ...,0):
les O représentent des polynômes adjoints d'ordre ni — 3 ; les V représentent des polynômes correspondant à des adjointes particulières d'ordre m — 2, qui sont seulement de degré m — 3 en x et ;:, et de degré m — 2 en x, y et ^.
Nous désignerons d'une manière générale une intégrale de première espèce par
les intégrales (12 ) coiTesponclront à h =p — 0 -t- i . . . ., p\ les inlégrales ( i i ) à A = i . 2. ..../> — 0.
