Coniine précédemment, nous représentons ])ar
tO]', CO^' 0/'/, ( A = I , 2, . . . .p )
les périodes de 1/,. On peut supposer que les périodes correspondant aux indices inférieurs i, 2, ..., ip. sont, pour les indices i <'t 2, 3 et 4- . . ., 2/j — • i et 2/>, relatives aux/> rétrosections (C, D i et(C', D'j du n»6.
Ceci posé, supposons que le coefficient de clx dans une intégrale de difierentielle totale de première espèce soit
«1 Qi -I- it-^ Q ' — . . . -^ a I, Q/,
les a ne dépendant cpie de y. On aura nécessairement les 2p équations auxquelles devront satisfaire <7,, ..., ctp
ai II)}. -h a-2 ojf. -i- . . . -4- « ., to'' ^ P,-, «ico/.^, -1- aow,-^ ,-!-.. .-i-a/,(o/;^j =0, =0,
; «iWo/, — aoiol/, — . . .-H <7/jCo/'^^ =0.
P,, Po, . . ., p,- sont des constantes qui représentent les périodes de l'intégrale de diiîerentielle totale pour les rétrosections
d'après nos notations, P, correspond à C| et Po à D,,''puis Pj à Cj et Pj à Do, et ainsi de suite. Les périodes de l'intégrale relatives aux ( C, D') sont nécessairement nulles. Remarquons encore que les
.sont des constantes (puisque ce sont des polynômes de degré zéro
IMfidllALI'S TOTALES 1)K l'Ill'MlKRE l-T I)K SECONDE ESI'tCE. '|'-7
:iii plus). De plus, pour
ces constantes seront nulles (car le deyr(' du |)t)lvnonie serait — i). Des équations (i 3 ), il résulte (pie l'on a
ll\) Pioj^'- l'.w^'-h P30)'; — P.tof^ -+-...-h P;.iio/'— P,.to^Li=^ *»;
c'est une conséquence de la relation entre les périodes de deux intégrales de première espèce. Les équations (\/\), où les coeiiicients des P sont des constantes, sont s<'uleMieut en noiuhrt- 0.
puisque les équations sont des identili'-s pcuii- A ^ i . ■> /> — • 0,
d après ce que nous venons de dire.
10. Nous allons établir réciprotpienient que, si l'on a /constantes P,, Po P, satisfaisant aux 0 relations (14). les 2/> équations ( I.) ) en ^/|, r/o, . . ., cip seront coiiq^atihles, et quil en résultera une intégrale de diflerentielle totale àe preniiè/e espèce, dont
les périodes seront précisément P,, Pj P/ .
Tout d'abord, on voit immédiatement que les équations (i.)) sont seulement en nondire p. quand les conditions (i/\) sont vérifiées. Il suffit, pour sen assurer, de uiultiplier respectivement Hes équations par
(Il (-tant compris entre k/i et p) et de faire la somuie: on a une cond)inaison identiquement nulle.
Les équations (i3) reviennent donc à /> dentre elles, coiiNcnablement choisies, j)ar exemple à celles qui correspondent aux cycles G et C, et <jui, par suite, corresj)ondront aux équations prises de deux en deux,
«l(OJ -^rtoW? -Î-. • .-f- «/)(0/' = Pi:
ai co.'j -i- ((2<j^l -H . . . -- Up m'.'^ = P3,
(l5) ' «iw;., -Ha.jco;.,, —.. .-h '(,,'-<>'/, ^ = P,.,, j =0,
((iO>!,p ,-^«2W^/;-i~---^"/-"-'Ç/,-i =
428 CHAPITIiK XIII.
On sait que le déterminant dordre p formé avec les tOoA+i i^ 6^t pas identiquement nul.
Tl est clair que les équations (10) et, par suite ^ les équations (i5 ) donnent pour les a des fonctions uniformes (et, par suite, rationnelles) dejKÎ ^n effet, les /• premières équations (i3) restent invariables, quand j>^ partant d'un point j revient, puisque les w qui y iigurent sont des constantes, et les ip — /' autres sont seulement remplacées par des combinaisons linéaires delles-mèmes.
Cherchons maintenant quelle est la nature des fonctions rationnelles a de V, satisfaisant aux équations (i5). ^^ous aurons à distinguer, relativement à //. suiviiut que h appartient à la suite
ou à la suite
Si A. est dans la suite (a) on a pour j- très grand
et 'j-l est manifestement égale à une période de l'intégrale
" qi,i.r. \. z) d.r
relative à la courbe es (jc, i, :;") = o, en désignant par cjh[x, y, z) et 'j(j7, 7', Z-) les termes homogènes de plus haut degré (respectivement m — 3 et ni) dans (^^(^, jk- ^) et à^ns f [x , y ^ 3). Si h est dans la suite (3), on aura
et a^ a la même signification que plus haut, sauf que ^^(a:, v, s) est un polynôme homogène de degré m — 2.
De cette signification des a^, il résulte que le déterminant
INTÉliKALïïS TOTAI.KS l)K l'RKMIKIU: KT 1)1. SFCONDK ESPf.CK
n est pas mil d aprrs une proposilioii (■lasM(|ii(' dans la lliéone des intégrales al)éli('iiii(\s d»; |)renHrce csprce; car ee déterminant représente le déleniiinaiil (\(^> périodes |)()iir les cvcles G et C des
Intégrales
}'()/ii.r. y. z ) d.r
ipiand on v fait i' = ce, ee (pii donne alors (avec le changement de variables fait plus haut) des intégrales relatives à la eourhe cp(.r, !,..) = o.
11 résulte de là (pie le développement des<7 suivant les puissances descendantes de y commence |)ar un terme, qni est au plus du premier degré en y pour
"il ^'-2
et qui est une constante pour les autres fonctions a.
11. Nous allons montrer maintenant (|ue r/f, a-2j ••■, ffp-i sont des polvnomes du premier degré enjK. t'I que les autres a sont des constantes. Il suffira de voir qu'ils ne sont infinis pour aucune valeur finie dey. Or le déterminant
reste é\idemment 'fini et di [J'érent de zéro, (piand r n est pas en un point singulier h de l'équation E. Les seules \aleurs à examiner sont donc les valeurs b.
Donnons à y une valeur voisine de b. On peut supposer que les cycles donnant les périodes mar([uées par les indices i , 3, . . ., 2/> — 1 sont formés, le premier |)ar un petit contour •' enveloppant les deux points singuliers de la courbe f{x, y, ;) = o voisins de b^ et les autres dey> — i contours ne passant pas dans le voisinage de ^, et qui deviendront, quand j' sera égal à /v, /> — i cycles de la courbe de genre /> — i
rHAiMTiti: XIII.
appartenant respectivement aux rétrosections d'une division canonique de Riemann.
Les adjointes Q^ de la surface f ici considérées dépendent de p paramètres ; on peut donc supposer que p — i d'entre elles
0„ Q.,, .... Q^, passent par le point de la surface où le plan tangent est donné par
la dernière Q^ ne passant pas par ce point.
(^ue deviennent dans le déterminant (i6) les différents termes pour j' = b? Dans la première ligne, on aura
(o 5 = oj j = . . . = Lo'l~ ' = o. co'i' = o ( pour j' = ^ ).
Daulre part, le déterminant d ordre /> — i
Wi/,-, fJô/.-i
( pour y ^ b)
n'est pas nul. puisque c'est le déterminant de p — i périodes appartenant chacune à une rétrosectioii du tvpe canonique pour la courbe y'(j", b, c) =: o de genre p — i .
Il résulte de laque le déterminant (i()) est dillerent de zéro pour y ^ />. Les fonctions rationnelles a sont donc linies pour toute \aleur finie de t, et l'on aura donc, d'après ce qui a été dit au numéro précédent,
ar — 'j-r
les a et les 3 étant des constantes.
12. Le théorème énoncé est maintenant immédiat, car l'expression
'7 1 Q 1 — iTi Q) —...— «;, r»/,
est le coefficient de dx dans une intégrale de différentielle totale de seconde espèce, et, d'après la forme des a, cette intégrale de
INTÉr.IlALKS TOTAI.I-S IH- l'HI-Mli'lRi: l-T l)i; SI-CO.NDi: KSI'feCE. '|> I
seconde espi'cp est de /irenii'èfe espèce. NOiis poux oii-< donc dire que :
Le nombre des infei^rales simples distincles de première espèce dUine surface al<:ébri(iue esf égnl. au nombre des constantes P pouvant être prises arbitrairement dans les o équations
l'iwÇ' — Poto^'-^ v,m\ — I '..(,/; -+-...-+- P;.,w/?— r,. w;!' , = o
(// prenant les valeurs /> ^ o — i //). l);ins ces équations
les w sont des constantes.
13. Si les premiers membres des équations précédentes regardés comme des polynômes eu P sont indépendants, on pourra prendre arbitrairement
des l\ et alors le iiond)re /„ des intégrales de première espèce sera précisément r — o. On aura donc
mais ce raisonnement rend seulement ce résultat \raisemblal)le. Si les polynômes en P se réduisaient à un moindre nombre, il yaurail plus de /• — 0 lettres P arbitraires. lYous pouvons donc seulement en toute rigueur conclure à V inégalité
(hi arriverait-il, ^i les équations du nuLuéro priuédenl n étaient pas in(lé[)endantes ? 11 est visible (pi il a' aurait une intégrale abé-
lienne de la forme
(les ), étant des constantes non toutes nulles) dont les /• j)ériodes relatives aux rétrosections ( C, D ) seraient nulles.
Ainsi, il y aurait une intégrale de première espèce du sec^ond tvp<' [le type ' i a )J dont les r premières périodes sei-aient nulles, comme il arri\e à toutes les intégrales du tvpc (in. Dans la note citée au n" 3, ^I. Picard, pensant axoir démontrt- que cette
circonstance est impossible, énonce que Ton a
Mais, cette démonstration ayant besoin détre complétée, nous ne nous v arrêterons pas. D'ailleurs, légalité (i-) a été établie, en se plaçant à un tout autre point de \ue, par M. Se\eri dans un très intéressant Mémoire auquel nous renverrons (').
14. Nous énoncerons encore un théorème extrêmement remarquable dû à M. Castelnuovo relatif aux nombres des intc'grales de différentielles totales de preuiière et de seconde espèce (-). Ce théorcme consiste en ce que L'on a l' égalité
d'oii résulte en outre, en vertu de la relation (17),
Nous ne donnerons pas la démonstration de Al. Castelnuo\o; elle s'appuie sur un tlu-orème fondamental de Al. Enriquef*. qui n'a pas été établi dans cet Ouvrage et dont l'étude nous entraînerail trop loin (^V En utilisant aussi ce théorème, M. Severi (') a donné une autre démonstration de la relation (18 ).
Oue faudrait-il faire pour établir le théorème de M. Castelnuovo, en se ser\ant de la proposition que nous avons démontrée au n° 1^2. Pour le voir, cherchons dabord quelles conséquences résulteront (hi théorème de M. GastelnuoN o, pour le Tableau des périodes des intégrales (1 1) et (12) de la page ^'20^ qui forment les/> intégrales de ])remière espèce de la courbe entre x et r.
(') r. Severi, Siilla di[ferenza tra i muneri degli integrali di Picard delta prima et delta secunda specie appartenenti ad uiia superficie atgebrica {Accademia Reale délie Scienze di Torino, 18 janvier igo5).
(-) G. Castelnuovo, Sugli intégrait aemplici appartenenti ad una superficie irregotare {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, janvier igoS, et Rendiconti delta R. Accademia dei Lincei. mai-juin igoS).
(^) F. Enriques, Sulla proprieta caratteristica dette superficie algebricJie irregolari [Alti delta R. Accademia délie Science delV Istituto di Bologna. 1 1 déc. 1904 ).
(') F. Severi, // teorema d'Abel sulle superficie algebriche {Annali di Matematica, 'à" série, t. XII).
imé(;rales totales de puemièiu: et ue seconde espèce.
Kl
Kî
Pour les p — 0 inl('jj;r;tles A\\ type (i i), on a au Tuhicau des [)éliodes que l'on peul éciii-e
les /• premières colonnes correspondant aux cycles (C, D j.
(^uantaux- inLégrales(i 2), on peut évidemment sup|)oser{pi'elles
correspondent aux - int('i;ralesdediirérentiell('s lolalesde première espèce, nous voulons dire qu'elles représentent ces inté;.;rales quand on y fait dy = o. Dans ces conditions, les périodes des intégrales (12) relatiNCS aux cycles (C, I)') sont nulles, et Ton a alors pour ces intégrales le rahicau
iii\
Il,
où les a sont des constantes.
Si, maintenant, prenant deux intégrales quelconques parmi les p intégrales de première espèce (11) et (12), on forme la relation bilinéaire entre les [périodes de ces intégrales, on aura une relation qui sera identi(piement vérifiée si l'on prend une intégrale <lu Tal)leau (tî, ) et une intégrale du Tableau (t^j); «elle relation ne contiendra que les périodes relatives aux cycles (^C, D') si Ion envisage deux intégrales du Tableau (t:, ), et enfin elle ne contiendra que les périodes relatives aux cycles (C. I^ ) si Ton prend deux intégrales du Tableau (tîo ).
De là nous concluons, toujours en adnietlanl le théorème de M. Castelnuovo, <pie, si Ion |ircnd deu\ intégrales abéliennes quelcorujues de première espèce
et
('\\{x,y, z ) clx
434 CHAPITRE Mil.
de la courbe entre x et ;
fir,y, -) = o,
(»à R et R' sont des polynômes en x^ y et ;, on a entre les solutions
des é(jiialions E„ et E^, velatiK-es à ces deux intégi'ales (en revenant aux ni)talions des n'" 9 et siii\ants) la relation hilinéairc
}Soiis sa\ons, d'après ce qui a été établi dans la Section II de ce Chapitre, que le groupe de Téquation Eq laisse invariable le j)remier membre de (19) quand on eireclue simultanément sur les co et les to' les substitutions de ce groupe, mais nous n'avons pas réussi à démonti^er directement que ce premier membre est nul (M; il nous semble toutefois très probable f[u on jjourra un jour v [parvenir.
Quoi qu il en soit, si V on admet ce fait, nous allons voir que Ion peut démontrer facilement, en se servant des tliéorèmes établis dans les paragra[)hes précédents, que le nombre des intégrales
de différentielles totales de jiremière espèce est égal à -• 15. Tout d abord, (tn aura é\idemment
( 20) (Oi W, M-i 10] -r- .... -^ (";— 1 ^u'r ~~ W,.Oj',. , =^ O,
puisque la somme des premiers membres des égalités (19) et (20) est nulle.
11 s'agit de savoir combien nous pourrons prendre de constantes P arbitraires dans les équations (i3) du n" 9, pour ([ue ces xp équations aux p inconnues «,, rtj, . . .^ ap soient compatibles.
Considérons les é([uations ( i5 i du n" 10. eu donnant à
(') M. Picard pensait avoir obtenu une telle démonstration à l'aide <le considérations délicates empruntées à V Analysis situs iX^ns l'espace à quatre dimensions^ mais cette démonstration nous semble maintenant sujette à des objections, et nous nous contentons d'appeler l'attention sur la lacune qui reste à combler.
iM KiiitAi.i'S inT.\i.i:s i»i; pitiMii iti: i;r di: si:<:f»M>i: i:si'i;('.i:. |0.)
des Videurs nihiliiiiics : nous (Iclrnniiioas ;iii)>i (l^. d^-, .... ''//,. N'oiis allons \()ir(|iic lo xalciiis des aiil rvs |)('-ij()(|rs, pour- I int»'-ii;ralc coi rc-spoiidaiU à ces \alciir> des c/, soni des conslaiiles déleimiiK'es IV,. .... I',. pour les excles IJ. el soiil riidies pour \v*. cyeles I)', de (elle sorle cpie Ton a des ('(pialions de la lornie (i.>).
l3ési<;nous par l\,, .... IV les pi'riodes rclalives aux eyeles I) de l'jnlégrale de première es|tèee loruiée avec les a. Soient ausxi l*/-l-:i^ l*/-l--o •••) l\'/; 1<'^ j)(''no(le> de la même inl(''i:rale relative aux
(cycles \y . Il l'aul (h'moulrer (pie !'.. 1'., V,- sonI des eonslanlo
et que \\j^>. . . ., I\./, sont nuls.
C'est ce (juc Nonl nous donner les relations (u)) et (20). Nous pouvons écrire les é(piation>
rtl(o{ -r ai<.<)\ — . . . -:- a^, (O'j = 1*1-
On en dc-duil, d après les relations i 20),
// élanl un quelconque des noml)res 1, y., ..., y> ; tous les (o li^iilant dans ces relations sont d ailleurs des constantes (^c est-à-dire indépendantes de y). Or tous les déterminants lormés, en prenant - liiines dans le Tabhaii
fi — l, 1. . . .. p),
ne sont [las nuls, car alors le dclerminaiil dordre /> lormé a\ec les périodes relatives aux cvclesC et (7 serait nul, <'e (pu n'a pas lieu d'après [in tliéorème classi(pie. Les t'-quations (■<[) d(''terminenl alors certainement
l'o, P;. .... Vr
en l'onction des arbitrantes
et il ne s'introduit que des constantes dans ces expressions. \ous avons donc le résultat \oulu.
P. i:t S.. II. . 29
136 cHAPiTiti: XIII.
(ïonsidérons de méine les éqiiiitlons
"|W,'.j l -^ ^i'-'^r+i -T-. . . -H r^/, to"+i = O, rtlfO^ + 2 -^«2W;" + 2 — . . . -t- f^/, OJ^'^o = P/+2.
a 1 t'J i /)- 1 -^ ''' :; w i /)- 1 ^- - • • -^ «/) ^'J 2 /)- 1 = o , aiO>\j, -^ (i-ioj'-yj, — . . .-^ a/,M{'i, = ]'.2/,,
où les seconds membres sont alternativement ^e/'O et une lettre P à indice pair, \oiis aurons, d'après les relations (19),
Or tous les déterminants formés en prenant p lignes dans le
Ta 1)1 eau
jie sont pas nuls, car alors le déterminant dordre /> lormé avec les périodes relati\es aux cjcles C et C serait nul. Des équations (22) (jn conclut donc ([ue
Ijouc. dans les 2/> équations (10) du n" 9. on j)eut prendre arbi-
tiai rement
et, en choisissant convenablement l*o. P^. .... P,. au moyen des équations (21) nécessairement compatibles, il est possible de tirer des équations (i3) les a de manière à a\oir une intégrale de première espèce. Il se trouve ainsi établi, sous le bénéfice des relations admises (i() ou 20), que le nombre des intégrales de diffé-
renlielles totales de première espèce est -•
IMÉGKALI'S TOTALKS Ul- I'HI•:>1I^:IU: ET DE SECONDE KSl'tCE. 4-^7
Sur une propriété dés adjointes d'une surface algébrique.
16. jNous lenainerons ce Cli;i[)ilre en démontrant une propriété intéressante des adjointes d'une surface alj^ébrique ( ').
Revenons à cet ellet à la première section de ce Chapitre, Nous n'y avons fait aucune hypollièse sur les adjointes au ])oint de vue (le leur section par un plan quelconque. Nous avons, dans le Chapitre IV de ce volume, considéré, avec M. Enriques, les adjointes (ledilîerenls ordres h (/i^ni — .'>). L'ensemble des adjointes d'ordre h forme un système linéaire de surfaces. Celui-ci découpe sur un plan piis arbitrairement un système linéaire de courbes planes (pii font ésidemuient partie des adjointes d'ordre h de la section plane correspondante de ht surface. Mais il se peut que ce svstème linéaire de courbes planes ne forme pas l'ensemble de ces adjointes, cl qu'il y ait un défaut, qui a été désigné par co^. Nous avons vu (pie, ;i partir dune certaine valeur de A, tous les w sont nuls. En supposant que de h ^ m — 3 à h^l — i les to soient difl'érents de zéro, nous axons établi la formule de VE Enriques (p. 88)
Or nous avons déuionlré, dans la Section I de ce Chapitre. Tinéi^alité
/• ■H.'Jiii-i.
Or, d'après (sS),
puisque les co sont positifs. Rap[)rochons les deux inégalités précédentes, en écrivant
r 1 ■'. w„,3 ^ •'. ( pf. — pn ;
(' ) E. Picard, Sur quelques questions se raltaclianl à la connexion linéaire dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes {Journal de Crellc, Band 129, igoS).
438 CHAIMTKK XIII. — IN rf,(iRALES TOTALES, IvTC.
Mais, (Japrès le théorème de M. Gaslelnuovo.
il fiiul donc tjue les deux inégalités soient des égalités, et l'on a. par suite.
Pg — Pn = W/»-:j-
Donc on a, pour toutes 1rs adjointes d'ordre li { li^ni — •>.).
C'est là le théorème que nous \oulions établir.
Ainsi, dans le calcul du genre d'une surface algébrique, il n'v a que le défaut w,„3 à envisager. Nous pouvons encore énoncer le lliéorème sous la forme :
Les af/joi/ites d'une sur/ace (/'ordre m, qui sont d^ ordre supérieur ou é<^al à m — 2. donnent sur un plan arhitraire le systènie complet des adjointes du même ordre de la section plane.
Ce résultat complète les belles recherches de M. lùiricpies sur les adjointes d'une surface algébrique. Nous ra\ons obtenu |)ar une voie détournée : on |)ourra sans doute le démontrer directement en restant à un point de \ue purement géométrique.
SLIl Li:S S[ IIKVCKS HVPEHELLIl>TI()LES.
Quelques propriétés des surfaces hyperelliptiques générales.
1. Nous ne n(ni> |)i()[)n-.()iiv ji;is de faire dans ee Cliapitre une •('tude approfondie des surfaces hvperellipti([ues : notre but est seulement d appliquer à ces surfaces (piel([iie>-uns des résultats généraux donnés dans cet Ouvrage.
( )n ap|iellc suffnrrs hypi'rell ip( iqucs. les >iMi'aces pour les- (pnllt- les cDonloniii'rs d un pdint quelconque s'expriment par tlo ti)aclion.> qiiadruplemenl périodiques de deux paramètres. L étuile de ces surfaces a été commencée par M. Picard (' ). (jui a élal)li leurs propriété's lt'> plii^ simples, l. ne étude très aj)profondie en a é-té faite par M. Hundjert dans son heau Mémoire Sur In théorie générale des siirjaces hypcrelUjdiques (-).
l2. r)n sait qu'entre trois fonctions uniformes quadruplement pcrmdiques de deux \arial)les u et c. avant jiartoul à distance finie le c.ir.ictère d une fonction rationnelle. \\ existe une relation algél)ri(pie. Deux cas peuxent se [)rf''senter ; d peut arri\er f(u à un ]Hiint (irhitrnirc dr la surface ne corresponde cpi un seul svstèmr
(') E. Picard. Sur les inte2:rales de (Itjférenliellex totales algébriques de jiremière espèce (Journal de Mathéniati'fuci. t. I. '(' sér., i8S5): Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables {Journal de Mathématiques, t. V, 4" sér., l'^'S;)).
(-1 G. tiL'MBF.r.T, Théorie générale des sur/ace-^ hyperelliptiques ajournai de Mathématiques, t. I\, j- sér.. liSij'î ).
44o CHAI'ITRi; XIY.
de valeurs de u et v. abstraction faite de multiples des périodes, ou bien il y aurai plusieurs systèmes de valeurs de // et r dans un prismatoïde de périodes.
Plaçons-nous dans la première hypotbèse. Soit
Cl) /(^,J^-,' = o
une surface bvperelliptique jouissant de la propriété indiquée : on étaldil alors que toute fonction quadruplement ])ériodique de u et V" et avant partout à distance finie le caractère d'une fonction rationnelle est une fonction rationnelle de x.y et ;.
3. 11 est facile de montrer que la surface possède deux iiUégrales de différentielles totales de première espèce. Soient
les trois équations donnant la représentation paramétrique de la surface.
^ous a\ ons
aX = C(U -r- — ch\
Ou (Jv
- àF, . ^ àF, dy = - — du -, ; — dv.
•^ du dv
Or les coeflicienls de du et d<i' sont des fonctions t|uadrupleinent périodiques de u et c: elles peuvent donc s'exprimer par des fonctions rationnelles de x, y ot ::. En r(''solvant les deux é'qiialions |)récédentes par raj)port à du et di\ on aura donc
,:/;/, = P dx^q dr, dv = Pid.r^Qidj,
les P et Q étant des fonctions rationnelles de x, y et z. Les deux Cpdx -^q dy et r Pi dx -r- Q, dy
intégrales
sont é\idemment des intégrales de diftV'renliellcs totales relatives à la surface /, et elles sont de première espèce, puisque à tout point {x,y, z) doi\ent nécessairement correspondre des valeurs finies de u et c. Ces deux intégrales sont distinctes et liuéairement indépendantes.
SIRFACKS llYI>KUi;r.l.lI'TIQri:S. l|l
Eli sc<'()ii(l lien, loule iiil('';^ial<' de |)r<'iiiirio <'S|)rcc de la -iirlacc est ii(''cess;ui('iii<'iit une comliinaisdii Imt-aiic à coc^nicicrils constanl-< des <leii\ |)l•écéd(■ll^('■^.
En ellcl, suil. une intégrale de |)reim( ne esj)èc(;
<'!! rcmplaeaiil ./", j^. c par leurs \ alciii-s en a el r. crllc iiil('i;ral( <lr\ M'iil
r'^rln -^'bflv,
'v et 'l étant i\o> f(tnctions (|iiadi'ti|ileiiienl |)»''ri(!di(|ii(> de // ri e. Puisque 1 intégrale reste toujduiN lini<'. il tant (|uc les l'onelions uniformes '^ et 'i restent toujours Unies; elles doiNcul donc se réduire à {\v> constantes, el notre intégrale se réduit
1 a (/il - i (/r,
y. el j étant des constantes. Elle est donc une eondunaixin linc'aiiv <les deu\ preiuicres.
i. On montre aisément <|ue le i^e/rre ^l'onK'ti-iijKc de la sinface est égal à un, cesl-à-dire qu // 1' a une seule inl('-s}ale doulib' de première espèce. Soil une telle int«''gral<; donlde
(■2) ^ f\\{.r,y,z)dTdy.
En remplaçant jt, y et z par leurs \ aleurs en // cl e. 1 inlc'grale devient ♦
y é'tant une ionction uniiorme quadiiqjleuienl p(''riotlu| ue de // et c. Si y ne se réduit pas à une constante, il est manifeste <[ue, dans un prismaloïde de périodes, on j)0urra choisir un continuum d intégiatii>n pour l'intégrale double, tel que celle-ci soit iuiinie. Il faut doue et \\ suffit d ailleurs (pie y se réduise à une conslanle. L mlé'grale double •
