II

.'l)2 CHAI'ITRi: XIV.

qui est l)ien de l;i forme (2), quand on revient à x. y et z, est lintégrale double de |)reniière espèce de la surface f. Elle est, eonime nous savons, de la forme

0(:r. )-. j I (/./■ (ly

(^ étant une adjointe d'ordre ni — 4i nécessairement unique, de la surlace f supposée d ordre m.

T). ?Sous avons considéré (t. 1, p. i36) une surface avant plusieurs intégrales de jjreniière espèce qui ne soient pas fonctions lune de lautre. Soient deux tell»'? intégrales

15 1 d.i- — \ I (ly

*-' 111,0,0 •'- ''{tl.ll.C} J^

Il a été établi {loc. cit.) cpie Ion avait sur la surface lidcnlité

AB, — A,B = f-.OJx.y,z).

(^(.r, j', z) étant un polviiome adjoint d'ordre m — \. Ici le polynôme Q correspondra à 1 unique adjointe d'ordre m — 4 f'e la surface f. Cette adjointe coupera la surface suivant la ligne double et sui\ant une ou [)lusieurs eourjjes sim[)le.s (pie nous appellerons les coui-bes Y .

Pour la surface que nous étudions, les équations

du,

1 \\. il !• - ~ \ . //l-

^ Jz

donnent nécessairement pour .r et i' (et:;) des fonctions uniformes de a et v. On voit de suite que c'est seulement quand le j)oinl (x, -)', z) s'approche d'un point tl une courbe F, que .r, j)- et c pourraient cesser d'être des fonctions uniformes de u et c. Soit M un point d'ailleurs quelconque (.r,,, Yn-, ^0) d'une telle courbe : d'après les équations (4), on voit que le rapport -r- est indépendant de -^ ^ quand (x, j', z) s'approche de M.

Donc les valeurs //(,, Co des inlé-grales 11 et i' correspondant au point Al ne donnent pas pour le> Ibnctions ./■ et r un point ordi-

lî d.r

A dy

\,dy

SIRFACKS llYI'KItl-l.r.ll'TIOI i:s. \.\3

nairc; ceci iTol |i;is doiilnix, |)iii(|iii' ./■ cl )• ne |t(iiinoiil li-iidrc

• I ■• ■ 1 '/ — "il . I i '

\crs,/',, cl )■„ (HIC SI |;i limilc (lu l'iinporl ;i iiiic \ alriii' <lc-

I ci-imiK'c.

l'iu- siiilc, les ('■(|ii;ilioiis prccédenles élant salisfailes par des fonclions qiiadrnpleruenl p(''ii()di(nies de u et c, le poinl ( Wy, Vq) sera piitir CCS loaclioiis un poml d iiiil(''lei'iiiiriiitiiiii. Mais, quand M se d(''|)lacera sur la couibc T, le syslcme des valeurs (//oi ''o) '^'' pourra pas \arier d une manière continue; car une fonction uniforme de deux variables indépendantes, (pii présente, pour tout svstème de \ aleurs finies tics \arial)les, le caractci<' d'une fonction rationnelle, ne peut |)as a\oir une suite de points (rindélermination se suixanl d'une manière ccuilinue. Par conséquent, u et c i;ardent une valeur constanle, cpiand (j",,- ^Vo, ^o) se déplace sin- une courhc T.

Il résulte de là que toute courbe V est une coufhe unicursule. (\ est une de ces lii;nes de la surface que, dans un Chapitre précédent, nous a\ons appelée une courbe e.rc('j>t i<in nelle.

6. M. Humlu'rl, dans le Mi'iuoirc cil('' [dus haut, a lait une élude approfondie des courhes ali;<''l)ri(jues tracées sur les surfaces liAperelli[)tiques. U représente d'abord ces surfaces en coordonnées homogènes par des équations de la forme

les 6/ étant des fonctions thètci normales de uH'me ordre, de caractéristique nulle.

En supposant que les fonctions abéliennes ne sont pas singulières (c'est-à-dire (pi'il n'y a pas entre certaines combinaisons de leurs périodes vww relation homogène et linéaire à coefficients entiers), il établit (pic toute courbe algébri(pie tracée sur la surface est représenté( pai- une équation de la forme

). et a étant des constantes, et (■) une fonction thêta normale de caractéristique nulle.

Nous reuNcrrons à son ]\[émoire pour la démonstration de cet important théor«"'me.

7. Nous avons \u plus haut que le genre géométrique p^r de la

444 CHAIMIRK \IV.

surface est ég.il ;"i un. En s'appiivant sur le tln''or«Mne de M. Caslelimovo ( l, n. |i. :\-y.i) nous a\(»iis ici

puisfju'jl j a deux inlégrales de |)reniirre esprce. On en dt'duit

Ce résultat a été antérieurement établi par M. Humbert an nioven d'un calcul direct (Journal de Math., \'^{Ç), }). 429).

Ajoutons encore que la surface possède quatre intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce, puisque le nombre des cycles linéaires est évidemment égal à quatre et que par suite /• est égal à ce nombre.

On peut enfin se demander quel est le moindre degré d'une surface hjperellipti(pie du type qui vient de nous occuper. M. Picard a démontr»' qu'une surface de genre géométrique <''gal à un ne peut a\oir deux intégrales de différentielles totales de premier;' espèce qui ne soient pas fonctions l'une de l'autre, si son degré n'atteint pas six [Journalde Math., i885; voir aussi t. I, p. \/\\). mais il s est borné aux singularités que nous avons appelées ordinaires dans tout cet Ouvrage. I^e théorème complet a été établi par M. A. Berrv, et Ion trouvera dans les additions placées au commencement de ce V(dume les renseignements bibliographiques à ce sujet. Ce résultat admis, il est clair qu'/7 ne peut exister de surface hvperelliptique de degré égal ou inférieur à cinq telle qu à un point arbitraire de la surface ne corresponde qu' un seul système de valeurs des paramètres aux périodes près.

On peut indi(|uerune surface du sixième degré rentrant au contraire dans ce type. Prenons en effet la surface

y et '-2 étant des polynômes arbitraires du troisième degré. En d('signant par P(;^)et (^(c) les fonctions elliptiques correspondant à

SLRFACKS HYI'l'KKLLirnolKS. I | >

on aiir;i r\ idciiiiiicjU

et la surface rentre hien dans le l\|)c noiiIu.

Tel les fonctions aix'licnnes sont tics s|)('-ciales, |)iiisf|ii"cllcs se ramènent avix fonctions donhlenient |)t''riodi(|nes pour cliaenn des paramctres. Relativement aux fondions alx'diennes ii('nérales. M. Ifiiinj)eit a indi(|iic une snifacc h vpcrclliplicjiic du luiilirinc degré [Journal de Math., i8().'). p. \'M)). f)n ne sait s'il eu existe pour les sixii'mc et se|)li«"'me degrés.

Sur les valeurs des nombres c et :„ pour une surface hyperelliptique non singulière.

8. Nous allons calculer les valeurs des nondjres o et o„ pouiune surface hyperelliptique non singulière, en désignant par o le nombre correspondant au tliéorème fondamental dans la tlié'onr des intégrales de dilTérentielles totales de troisième espèce (p. 241», et {)ar po le nombre des int(''grales doubles distinctes de seconde espèce (^ p. 2<S9).

Soit, comme plus haut, la surface / doniK'e en coordonnées homogènes par les écjuf.tions

les 0 étant des fonctions thêta normales du même ordre et de caractéristique nulle. Nous nous plaçons dans rhv|)othèse on lc> quatre 0 ne s'annulent pas simultanément jiour un nx'ine système de valeurs de u et c, c'est-à-dire que la surface est représentable point par point, sans exception, sur le champ hyperelliptique; il n'y a pas alors dans cette correspondance de courbe exceptionnelle sur la surface.

Envisageons sur la surface une conrl)e algébricjne irréductible. D après ce que nous avons rappelé, elle sera représentée par une

équation de la forme

<di u — À, c — ;jt.) = o,

A et u étant deux constantes, et (-) une fonction thêta normale de caractéristique nulle, dont nous désignerons Tordre par ni.

Ceci posé, soit 9(«, v) la fonction thêta normale, de caractéristique nulle, et d'ordre t/n: la fonction

sera d ordre m, et. par suite, le quotient

fi">{u — X. *• — [X)

sera une fonction quadriipleinent périodique de u et r, et, par suite, une fonction rationnelle des coordonnées non homogènes a:, 1' et ô d'un point arbitiaire de la surface. Si donc nous considérons

Texpression

S( u — A. r — U) lor

ce sera une intégrale de dilTérentielle totale de troisième espèce (réductible manifestement à un logarithme), qui aura sur la surface les deux courbes logarithmiques

6(u — À, r — ■j.) = o et 0('// — À, c — a ) = o.

Ceci nous permet de nous borner, pour l'étude des lignes de la surface donnée /. en tanl <jue courbes logaritlimiques d'intéiivales de troisième espèce, aux lignes données par une équation

où ). et a sont deux constantes arbitraires.

Nous allons montrer que. si l'on prend deux quelconques de ces lignes corres|)ondant aux é-cpiations

0 ( u ). I . (• — ;j.i I =: o cl 0 ( u — /.2. (' 1^2 ) = O,

que nous désignerons par C| et Co. il y aura une intégrale de différentielle totale de troisième espèce ayant seulement ces deux lignes comme courbes logarithmiques. Supposons, en elTet. que Ao et |j.o soient respectivement très voisins de A, et <J.^ ; les deux courbes C, et Co de même degré sont alors très voisines l'une de I autre sur la surface. Par consc'-quent. les substitutions du type S

SI itKACKs iivi'i;Ki:LLiiTigi i:s. 4-^t7

onvis;ii;(-('S an n" !2 i Clia|». I\. |t. ■a?j'.\) el se rapporlaiit respectivciiieul à la coiirljc C, el à la eoiirhe G> sont idenliqucs, c'est-à-dire (|ue Ion aiir.t (voir n' 3, même (^hapilrej

tjL '' = v'" { i ~ l. y,. . . . , 7.p).

I^l^ suite, les 2/?/ relations eonsidérées dans le n" 3 (Chapitre eilé) entre les K el les (• poiirionl être satisfaites en prenant tous les R nuls, et

Cl ^ c> = <».

Nous aurons alors une intégrale de troisième espèce, conformément à la théorie générale des intégrales de cette espèce, ayant les <leux seules courbes logarilhmicpies Ci et Cj ; la ligne à Tinlini de la surface f ne peut être une courbe logarithmitpie pour cette intégrale, puisque C, et Cj sont du même degré, et que c, = — r... En faisant varier A et -j. par degrés assez petits, on voit que deux courbes quelconques du type

sont courbes logarithmnpies d une intégrale convenable de troisième espèce. O/i a par suite pour la surface hyperelliptique considérée f sans courbes exceptionnelles (')

9. Ayant ainsi obtenu le nond)re 0 correspondant à la surface /', nous allons chercher le nombre Oy des intégrales doubles distinctes de seconde espèce relatif à cette surface. Il est donné |)ar la formide fondamentale de la page 4o8

( (i ) po = N — '\p — {/n — \) — 2r—{p — i ).

La surface est définie |)ar les équations

02 1 U. f I fc»:i( II, f I 6;( U. »■')

e,( u, c ) ^ 01 ( n. ri 0i(«. c »

les (pialre 0 ('tant des fonctions ihéta normales, de caractéristique nulle, dont nous désignons maintenant j)ar A le degré; de plus,

(') K. PiCAUD, Annales de l'Ecole Normale, t. WIII, igor, p. /|ii.

:i48 CHAPITRK XIV.

ces fondions n'ont pas de racines communes. 11 faut calculer les

iKMiihres

Nous savons que p = i et r = 4-

Or il résulte des formules du Mémoire cité de M. Humbert {Journal de Matli., 189.), p. 43o ) que Ton a

m = ili-. p =z II- -^ \ .

11 reste à évaluer la classe j\ de la surface. On voit de suite que N est é ual au nombre des solutions distinctes des deux équations

llld

' oh

oï-

en désignant par© et 6 deux fonctions tlièta normales d'ordre A, de caractéristique nulle, sans zéro commun, et d'ailleurs arbitraires. En s'aj)puvant sur un tliéorème de M. Poincaré relatif aux racines communes à deux fonctions tliéta, on trouve sans difficultés

Nous pouvons maintenant appliquer la formule (()); comme il de\ait être, la valeur de A disparait, et l'on trouve immédiatement

Tel est le nombre des inlégrales doubles distinctes de seconde espèce pour les surfaces byperelliptiques non singulières. Si la surface hyperelliptique était singulière, c'est-à-dire si les périodes satisfaisaient à une ou plusieurs relations singulières (au sens de M. Hundjcrt), il y aurait lieu de recbercher ce que devient le nondjre Oo? ci^i peiit être différent, car cet invariant, ainsi que nous Pavons déjà remarqué plusieurs fois dans ce \ olume, n'est pas seulement géométrique et algébrique, mais a aussi un caractère arithmétique.

10. Les surfaces byperelliptiques peuvent être rattachées aux courbes de genre deux. Soit une courbe de genre deux

SLMFACKS IIVI'EKIM.I ll'TIQl KS. -4^9

où f(x) csL un polviioine du cnKjuicniç deiiré; nous cou>i<lt''i(ju» les «''([uallon> classi(}ut's Je ht lliéoiie des fondions ahéliennes

< )n sait que loiUe lonetion i alioiinelle

s\ uH'trique en{x^,^'^)el (uo, j'o) est une fonetion ([uadi-upleuicnl périodique de ti el r.

Les équations

(7) <r = Xia:,,

où jCi el ^:. sont deux paramètres arbitraires, définissent une surlaee livperelliplique /'. et il est manifeste qu'à un j)oint arbitraire ix, ^'. :■) de cette surface ne correspond t[ii un couple de points {Xf. I ,}. (x■,.^^'■2^ de la couvhe j- =/(x) el. par suile, un seul svstèiue de \aleursde u et c (aux périodes près).

1 1 . Glierelions à former les iutt''i;rales doubles de seconde espèce de celle surface. Envisageons à cet effet les (piatre intéi;rales abéliennes distinctes de seconde espèce de la courbe livperelliplicfue

et formons 1 inléiirale double

r rx'lx'i-x'ix': , , „

D'après sa formallou même, celle intégrale double a les caractères d'une intégrale double de seconde espèce. Exprimons-la à l'aide des variables // et c. On a

du c/r dit (hdXid.r., = — r- ■ — ri Ko

45o ciurniti: \iv,

L'intésrale devient alors

,lu ,h

Le coefficient de durh' est une fonction rationnelle sTmétriqne de x^ et x^ et, par suite, une fonction quadruplement périodique de u et r. 11 en résulte que l'intégrale (8) est de la forme

/ / K^r,^v, z\dxdy,

P». étant rationnelle en x^y et :;, et il serait d'ailleurs facile de la calculer; c'est donc une intégrale double de seconde es[)èce de la surface /définie par les équations (-).

Il y a A«.r combinaisons de la forme (8); nous obtenons donc ainsi 5/,r intégrales doubles (y) de seconde espcce de notre surface, mais nous allons montrer qu'elles ne sont pas «listinctes.

Reportons-nous en elï'et à la formule fondamentale dans la tbéorie des fonctions abéliennes de Weierstrass, que nous avons utilisée précédemment pour un autre objet (page 198 de ce Volume), et que nous ('crirons

(.ro — .Ti) v/,/'(^r,)/(.ro)

ja-i — .'-o) V^'yï.rij/i-r., )J v7i-''i ^fi-^i >

U étant un polvnome en x^ et x^, défini j)ar cette identité même, qui est du troisième degré par rapport à .r, et par rapport à x-2-

Elle montre rpiOn peut foriner une combinaison linéaire à coelficients constants ( non tous nuls) des expressions

J'iJ'-i

(/J, ^ = o, 1, Ci, O ).

qui se réduit à une somme de dérivées partielles. On en déduit ([uil va une combinaison linéaire des intégrales (()) ([ui est de la forme