AS
dx dy^
U et V étant rationnelles en x^ y et z^ c'est-à-dire que les intégrales formées se réduisent à cinq. On vérifiera facilement que 1 ou
SIKFACES IIYPEKF-LLIPTIQIES. 45l
1)1)1 icul ;iiii>I ciiKj intégrales doubles dislincles de seconde espèce de la surrace /", si le polynôme /(^) est arbitraire, et le tbe'orèiue établi précédemment, à savoir (|ue
pour une surlace hyperelliptique, se trouve établi par une lout autre voie.
Sur la surface de Kummer et les nombres o et Co qui lui correspondent.
12. Dans les deux Sections précédentes, il a été question de surfaces hyperelliptiques telles qu'à un point arbitraire de la surface ne correspond qu'un système (m, t'), abstraction faite de multiples des périodes.
Il existe des surfaces dont les coordonnées s'expriment par des fonctions uniformes de deux paramètres, et pour lesquelles correspondent à un point arbitraire de la surface deux systèmes distincts de valeurs it et v.
11 est facile d'en donner un exemple en reprenant les équations abéliennes du n° 10. Envisageons, avec les mêmes notations, la surface définie par
y = .r-ixo,
A un point arbitraire (x, y, z) de cette surface correspondront un système de valeurs (x,, Xo) et le produit y\y'i- On aura pour ji etj^o deux systèmes de valeurs
J-i, y-i Cl — j-i, —y.,\
donc, à un point arbitraire de la surface correspondent deux systèmes de valeurs de u et i\
13. Parmi les surfaces jouissant de la propriété précédente, la j)lus célèbre est la surface de Kummer, surface du quatrième degré P. i.T S., II. ' 3o
452 CIIAIMTUI'; XIV.
ayant seize points doubles. Il ne serait pas dans notre sujet d en faire une étude, même superficielle; nous allons seulement calculer les nombres p et Oq ^iii lui correspondent.
Le nombre o est facile à calculer, si nous nous reportons à une proposition extrêmement intéressante de M. Humbert relative aux courbes algébriques tracées sur une surface de Kummer (non singulière). D'après ce théorème, toutes les courbes algébriques tracées sur une surface de Kummer sont de degré pair, et, si o. n désigne le degré d'une telle courbe, on peut le long de cette courbe circonscrire à la surface une surface de degré n ne la coupant pas en dehors de la courbe considérée. On déduit de là immédiatement que p ^ 1. Car, si une courbe Cj de degré 2«, est l'intersection de la surface de Kummer avec la surface
et, si une courbe Co de degré 2 iio est donnée par la surface
on a une intégrale de différentielle totale de troisième espèce représentée par le logarithme
fn.,
ayant comme uniques lignes logarithmiques C| et Co. On déduit de là que p est égal à un pour la surface de Kummer.
li. Cherchons le nombre p^ relatif à cette surface. Il nous faut appliquer ici la formule générale de la page 409
po = N ^- (/ — '\p — (m — I ) -I- 2 /• — ( p — I )
applicable au cas où, outre la ligne double, la surface a d points isolés.
L'application en est facile à la surface de Kummer.
On sait que
de plus on a
La formule donne alors
Po = 5.
SURFACES IIVI'I'UKI.I.II'TIQI es. (OO
jNoiis lioiivous le nuMiie nombre (|ii<' |)i)iir l;i surface hvperollij)tiqiie générale.
lo. En siihanl une marche analogue à celle du n" II. nous pouvons former facilement cinq intégrales doubles de seconde espèce relatives à la surface du n" I'2 définie par les équations
Ces intégrales doubles ont toujours la uième forme
C rri[x'i — x'{x'!, , , ,
/ / = (IX i dx., ( p, (/ = O. !. 2, 3).
Cette intégrale peut s'écrire dans le cas actuel
f f-''-'iA~ ^''i'-'l dx dy J J -^1 — ■'■> ^
Il est clair que
Xi X-i '
est un polynôme P(j:, r ), et 1 on a tlono une intégrale
/" /" Pt X. V \ ilx (ly J J '^ "'
l'équation de la surface étant
F(a^.jK) étant un polvnome en x et i'.
Pour les mêmes raisons que plus haut, ces six intégrales doubles de seconde espèce se réduisent à cirKj ; elles sont distinctes si le poljnome f{x) du cinquième degré ne satisfait pas à certaines conditions particulières.
Sur les conditions pour qu une surface soit hyperelliptique.
16. Xous avons indiqué plus haut (^Section 1 de ce Chapitre) certaines propriétés d'une surface hyperelliptique, pour laquelle il
4o4 CHAPlïlîi; XIV.
y a correspondance uniforme avec le prismatoïde des périodes. On peut se poser la question inverse, et se demander comment on reconnaîtra si une surface donnée de degré m
est susceptible d'avoir les coordonnées (.r, >', z) d'un quelconque de ses points exprimées par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres, de telle sorte qu'à un point arbitraire de la surface ne corresponde qu'un seul système de valeurs de ces piirauiètres (aux périodes près).
()n devra tout d'abord avoir pour la surface r = 4 ; il Y aura alors |)0ur la surface deux intégrales de différentielles totales de première espèce ; soient
^ B ^^ — A dy r Bi dr — A, dy
r B dx — A dy r
Ces deux intégrales devront n'être pas fonctions lune de l'autre. En outre, la surface doit être du genre géométrique un\ enfin, nous avons montré que l'adjointe d'ordre m — 4 coupe, en dehors de la ligne double, la surface f suivant des courbes simples F de /" qui sont unicursales (ces courbes peuvent manquer).
17. On peut montrer que ces conditions nécessaires sont suffisantes (' ); nous allons indiquer sommairement la démonstration. Soient
Wj (Oo 0)3 (Oi
les quatre couples de périodes des deux intégrales précédentes. En se servant des théorèmes classiques dans la théorie des intégrales abéliennes, on obtient la relation entre ces périodes
- C//,10/-J/, = O iCil: = — Cl,i) ( i, k = l, 2, 3, 4 ),
('; Comparez : E. Picard, Journal de Math.. i885, p. 334; ^t i^^9) P- 324- Dans le second Mémoire, M. Picard, s'appuyant sur une proposition de IM. Nother, dit que la condition relative à luaicursalitc des courbes F est remplie d'elle-même; mais la proposition de M. Notlier est sujette à des restrictions, et la condition doit être maintenue. C'est ce qui résulte d'un exemple de M. Castelnuovo, que nous avons cité (t. I, p. 2'i3), relatif à une surface du cinquième ordre avec trois tacnodes.
SL'UFACi'S iiYi'i:iti;i.i.it'TiQi i;s. 455
kîS c «''laul (les entiers, cl le (l(''teiiiiiii;iiil s\ iik'I ii(|ih' t::iiielie
n'étaiiL pas nul. eomiiie 011 le (li'diiil de lint-yaliu'; de Riemann fondaiiieulale dans ee <;eiu-e de (|lle^li(ln.
18. Ku (•lleeliiaul sminltauémeiil Mirles (o el hvs 'j une sul)sliliilion à coefficients entiers, dont h; déterminant ddlV-rent de zéro peut être <( priori supérieni-à un. onolilieiil de uouNilles [)ériodes
avec la relation
Qi Vo — 0. Vi -4- t2:j r. — Oi V;,
Il est alors possible de forinei" a\ec nn [)olvnoine du einquième degré convenable y"(j:-) deux intégrales distinctes de première espèce
/ce.' X T.
OiX -\- p
^-- (Lr,
dont le tableau des périodes corresponde à (()'), Considérons alors les équations
<lx —
\dv
dx -
Jz
et les équations
rr:
(II) { {y = \fj^)\
'(a'.ro -^ S' 1 f/./-.>
En égalant entre eux leurs premiers membres, on voit que toute fonction rationnelle
456 CHAPITIIE XIV.
symétrique par rapport à (Xf .yt) et (x^^y-j)-, est l'acine crime équation algéljrique dont les coefficients sont fonctions rationnelles de [X, y, z). Il en résulte que
T. y et z
sont des racines d'équations algébri([ues dont les coefficients sont des fonctions uniformes quadruplemenl périodiques de u et c.
Ainsi Xj r et :; définies par les équations (i o) n ont, pour chaque valeur de a et r, qu'un nombre limité de valeurs, et ont ])our toute valeur finie de u et v le caractère d'une fonction rationnelle ou d'une fonction algébrique.
^soLis ne nous sommes pas servis jusqu'ici de la condition relative aux courbes F. On se rappelle que l'on a
Q^(Xyy,z) étant l'adjointe d'ordre m — 4- Tout d'abord, les courbes F étant unicursales, elles satisferont nécessairement aux équations difierentielles
B dx — A dy = o, IJi dx — Aj dy = o.
puisque les deux intégrales de différentielles totales de première espèce, se réduisant pour une courbe F à des intégrales de fonctions rationnelles d'un paramètre, doi\eut être des constantes. Or.
d'après les équations
B dx — V dy
J'-i B,r/.r- Aif/)-
Te "
= du, = dv.
X. )', ::; ne pourront cesser d'être des fonctions uniformes de u et ique quand le point (x,j)', ^) viendra sur une courbe F. Mais, pour tous les points d'une courbe F, // et r se réduisent à deux constantes à des périodes près; nos fonctions algébroïdes de a et c ne pourront donc avoir de ligne critique pour laqvielle deux ou plusieurs branches se permutent. Elles seront donc des fonctions uniformes, et, par suite, des fonctions quadruplemenl périodifpies de u et c, comme nous voulions l'établir.
siRKACKS iiYi'i:ni:i.i.ii'TiQi ES. ^07
Sur une classe d'équations aux dérivées partielles se rattachant à la théorie des fonctions abéliennes ( ' 1.
19. Arrèloiis-nous im nioincnl sur les ('Cjuallfuis (lin'érenticllcs de la forme
/'élant un polynôme, et // (h'signant une fonclion de deux ^;l^i;^l)Ies indépendantes .r et y.
Si II est une fonction qiiadriij)lement périodique de deux valiables, qui ne se réduise |);is à une fonction d une combinaison linéaire de x et )% il v aura une relation algéljrique de la foi'me (12) entre
et. si l'on posf
Ou ()u
Ox ûy
du du
— et »■ = — Ox Oy
à un point arbitraire de la surface
ne correspondront évidemuient qu'un nombre limité de valeurs de (x, y) dans un parallélépipède des périodes.
Nous allons établir d'abord que ce no/nhre /imité de valeurs se réduit à un seul système de valeurs.
20. Admettons qu'il y ait m valeurs de {x,y) correspondant à un point arbitraire [u, r, iv) de f, soient
Les sommes
.r, -T- :r.2 -!-... -^ .r„,, yi -i-Vi — . . . — ym
seront nécessairement des intégrales de difTérentielles totales rela-
(•) E. t'iCAUD, Journal de Matliéniatiques, i885, p. 338.
tives à la surface f
(i3) / Vdu-\-Çtdw, I Pidif-^Qydiv,
les P et Q étant i^ationnelles en (u, v, a).
Différents cas peuvent se présenter relativement à ces deux intégrales.
!21. Supposons en premier lieu que ces deux intéj^rales se réduisent à des constantes. Faisons un peu varier et arbitrairement (u, c, iv) de manière à passer à [u', c', (\"'), on aura les nouvelles valeurs de ^ et y voisines des précédentes
f,r;,y,), (x'„y!,), ..., (.r;„,jK;„).
Nous aurons ici
\ Xi-~ Xo-+-.. .+ x,„ = a-; + .r !;,-+-... -h x',„ , ( yi + j2H-...-î-.7„, =7i^r-2 -+-... ^j'„,.
Les quantités û:'- — Xi sont de l'ordre de (a' — if) et (r' — i^). On a
u{x^,y^) — uixi yi) = -— (xy — Xi)^ -— (jK,— rO-h
les termes non écrits étant d'ordre supérieur au premier, et des égalités analogues en remplaçant l'indice i/n par les indices deux, trois, .... Comme on a
du
àxi
du
dx-2
du
du
du
dy,
et les égalités analogues avec les accents, il viendra, en additionnant et tenant compte des égalités (i4)?
m{u{x\^ y\) — u(xi, yi)] = quantité du deuxième ordre.
Or ceci est impossible, puisque (.r', — .r, ) et ( )'', — y,) sont du premier ordre; il faudrait que l'on eirt, pour toute valeur de x,
et J',,
du du
dx, dyi
ce qui n'a pas lieu.
SlUFACES HYPKKI-I.r.lI'TIQlES. .jOg
22. Les deux inLégtiilcs ( i3) ne se réduisent pas toutes deux à des constantes. Or, nous allons montrer d'abord que ces deux intégrales ne peuvent être distinctes. En efï'et, en reuiplaçant «, ^^ tv par leurs valeurs en x et )', elles deviennent respectivement
