XX -r- "py -T- Y, a' x -~ '^' j -f

les a, 1^, V étant des constantes. Si les intégrales sont distinctes, OLp' — |ja' nest pas nul; il en résulte que y.x ->r 3j)' et y.' x -{- [t'y et, par suite, j: clj' nont (juune \aleur j)Our it, r. ix- donnés, aux périodes près.

L'une des intégrales est donc égale à une lonclion linéaire de l'autre; oii peut supposer que

Pi du — Qi dv = A ( P du -^ Q dv),

A étant une constante. Gardons x comme variable, et prenons y — A.r comme seconde variable, que nous continuerons à désigner par 1'. La somme

est alors variable avec {u. v. (v ) et elle est une inti'-grale de première espèce, tandis que

j'i — y-i — • • -—y m = const.

L'intégrale de première espèce qui représente .r,-^,r o-f-... -h ^,„ sera susceptible de la forme

La constante a n'est pas nulle, car alors j n'aurait qu une valeur (étant une intégrale de première espèce) et, par suite, on aurait

Vi = r-2 = ■ ■ • = Vw = const.,

ce qui est absurde.

Prenons enfin, au lieu de la variable ^, la combinaison a^-i-3 )-;-";' <;omme variable ; nous la désignerons encore par x. pour ne pas multiplier les notations. Alors, avec les deux variables x et r définitivement choisies, nous aurons

X[ ^ X-i = . . . ^ ^ iili

46o CHAPITRE XIV.

et, par suite, ù un point arbitraire (it, c, (v) de f correspondent

X étant le même partout.

Reprenons le raisonnement du numéro précédent en considérant lin point arbitraire ( u\ v', iv') de/, voisin de (u, c, tr). On aura alors

m [ii(-T\.y'i I — ui.Ti.y^)] = m(T\ — Ti) - — -!- ternies de deçrés supérieurs.

Mais ceci entraîne

du

pour un système arbitraire de valeurs de .r, et r, . ce qui est impossible, car u serait une fonction d'une seule lettre combinaison linéaire des variables primitives x et y.

Nous avons épuisé toutes les suppositions, et i/ nous faut donc

conclure que

jn =1,

comme nous l'avons énoncé.

23. Posons-nous maintenant la question sui\ante : Etant donnée l'équation aux dérivées j)artielles

^/ du f)u\

peut-on y satisfaire en prenant pour // une fonction uniforme quadruplement périodique de x et j'?

Tout d'abord la surface

devra satisfaire aux conditions de la Section précédente. On aura donc tout d'abord à recbercher si l'on peut exprimer u, v, w par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres r et y. La surface précédente devra admettre deux intégrales de première esj)èce

r Fî r/u — A fiv r R, fin — A, d\-

SIKFACES IIYPI'KIM.I.II'TIQIKS. 46l

On doit pouvoir ti'ouver deux coiiihiniiisons liiK-aires indépen- (laules de ces intégrales, telle-" (|in' les deux (Mpialioiis aux ddl*'-rentielles totales

( l\i -^ r/ilii) du — ( l X -\- m A i ) c/c ,