CIT
( n 15 -I- /? I> 1 ) t/ii — ( n A ^- /> V j ) dv
dy
donnent, pour a, e, i\\ des lonelions rpiadruplenient périodiques de X ely, et telles que
Ûll du
Ox 0 Y
Cherchons à quelles conditions on pourra déterminer les quatre
constantes /, m, n, p de façon (pi il en soit ainsi: nous n aurons
1 I du Ou . 1- • I 1 , • ' ' I , \ .
(lu a calculer — et — a 1 aide <les cciuations itrecedentes. ( )i\ trouve ' Ox dy ' '
de suite, en posant comme plus haut BA, — AB, =,/,J,. ^^('^, *'? "')' du « A H- /) A] du /A + m Al
Ox { l p — ni II ) Q dj- { Ip — m n ) Q
Nous <le\rons a\oir
n A — ^j A 1 = ( /p — m n ) <,| .c, / A -+- /» A I = — ( Ip — m n i ( ) . \\\
et ces relations, devant avoir lieu, pour tout point de la surface, seront des identités en ;/, r, vv. j)uiscpie les degrés des polynômes cjui V ligurent sont moindres cpie le degré de la surface. \ous pouvons donc enfin écrire
A, = Q.( /(• — niv).
Ainsi les polynômes A et A, doivent être divisibles par ()(//. e,(\'), et les c[uotients doixent être homogènes et linéaires en i' et w. Lorsque ces conditions seront remplies, on aura par les di\isions mêmes de A et de A, par Q les quatre constantes /, ni, n, p, et les équations aux différentielles totales qui doivent donner u en fonctions de oc et y seront complètement déterminées; on est donc ramené à la question traitée dans la Section précédente.
Sur une surface algébrique admettant une infinité discontinue de transformations birationnelles.
ai. Les surfaces hyperellipliques générales dont nous nous sommes occupés dans ce Chapitre donnent un exemple de surfaces admettant der, transformations birationnelles en elles-mêmes dépendant de deux paramètres. Nous ne voulons pas nous occuper ici de l'intéressante question relative à la Iransfoiniation biralionnelle des surfaces en elles-mêmes. Nous terminerons seulement ce Chapitre en montrant que, pour une surface, contrairement à ce qui arrive pour une courbe ('), il peut v a\oir une inhnité discontinue de transformations birationnelles de la surface en ellemême, sans qu'il y existe une transformation continue, c'est-à-dire dépendant de un ou plusieurs paramètres arbitraires.
Ce fait a été signalé pour la première fois par M. Humbert, qui a indiqué un exemple emprunté à la théorie de la surface de Kummer (Comptes rendus, 3o janvier 189- ). Peu ajjrès, M. Painlevé a donné un exemple plus simple (-) : nous allons indiquer l'exemple de M. Painlevé, où nous retrouverons quelques-unes des notions relati\es aux surfaces algébriques étudiées dans cet Ouvrage.
En désignant par J)(^) la fonction elliptique, telle que la considère Weierstrass, envisageons la surface déterminée parles équations
p'iy)
A un point arbitraire de la surface correspondent deux valeurs distinctes des paramètres, à savoir :
( «, '') et ( — II, — c),
(') Pour ce point, on peut consulter le Traité d'Analyse de .M. Picard (t. Il, •2" édit., p. 483 ).
(-) P. Painlevé, Sur une surface admettant une infinité discontinue de transformations birationnelles {Comptes rendus, i4 février 1897).
SIRKAC.KS IIVI'F.UKLMI'TIOLI'S. 468
à (les imilliples pii's des périodes. I^osoiis
( U = m u -T- ni', ( ï )
///. n. p et <i étanl des cnliers salislaisanl à la rclalioa
fi\ q — ti p = ± I .
A un point {x.y\ z) de la ■^inlace eorrespondent les valeurs {u. e). ( — w, — e) et, j)ar suite, les valeurs (U, ^ ), ( — U, — \ ). Si done on pose
X. \ , Z seront des fonctions rationnelles de x, y^ z- et inversement. Nous avons donc ainsi une infinité discontinue de transformations birationnelles de la surface en elle-même.
On voit de suite que la surface possède une infinité de courbes unicursales. Tout d'abord, pour // = e, on a une droite de la surface. La transformation S donne la couibe correspondant à
U =z ini -- n)it = [JL tt .
Or u. et V peuvent être j)ris arbitrairement (entiers ). pourvu ({u'ils soient premiers entre eux. La courbe
a? = p ( ;jt « ), y = p('/ n )
étant de degré aussi élevé qu'on le veut, nous sommes assurés d'avoir sur la surface des courbes unicursales dont le degré est aussi grand que l'on veut.
Ceci posé, nous allons montrer que la surface ne peut posséder une transformation birationnelle en elle-même dépendant d'au moins un paramètre arbitraire.
l2o. Remarquons d'abord qu'on aura pour la surface
car, si l'on envisage l'intégrale doubiC (i5) / ftluch\
