CHAPITRE XIV. — SURFACES HYPERELLIP TIQUES
on voit immédiatement, en l'écrivant de la manière suivante
flx cly 1) ( x.y)
quelle est de la forme
SI
R étant rationnelle en x, y el c : de plus, elle est de première espèce, d'après la forme (i5).
Nous avons vu (t. I, p. 194) qu une surface sur laquelle il existe une famille (dépendant d'un paramètre arbitraire) de courbes unicursales a nécessairement son genre géométrique nul. Il ne peut donc exister sur notre surface une telle famille de courbes unicursales.
Or supposons que la surface admette la transformation birationnelle
(S) x' =zi(t: X, y, z), y' = pi(t; x, y, z), z' ^ psit: x, y, z),
où l'on peut admettre que le paramètre t entre algébriquement dans les fonctions rationnelles 0 de x,y et z. Il faudra que cette transformation (S) transforme en elle-même chaque courbe uiiicursale de la surface, sans quoi la surface admettrait une famille de courbes unicursales, dépendant d'un paramètre arbitraire /. Donc, pour un point (xq, Iq? ^0) d'une telle courbe, la transformation (S) donne, en faisant varier /, la courbe elle-même; son degré est donc limité. Mais il y a là une contradiction, puisque la surface contient des courbes unicursales dont le degré est aussi grand que l'on veut. Nous avons donc bien un exemple d'une surface possédant la propriété indiquée.
SUR cektalnilS ÉQUATIONS 1 oNc ho.nnki.lks i:t sl'k i:m: ci.asse
DE SCUFACKS Al.C.l.lîl'.IQUES, Par .M. Émilk Picard (').
1. Dans un article sur une classe de surfaces algébriques dont les coordonnées s'expriment par des fonctions uniformes de deux, paramètres {Bulletin de la Société ma théina tique, t. XXVIII, igoo), j"ai appelé l'attention sur certaines surfaces algébri(|ues. Ayant traité récemment cette question dans mon cours, je me suis aperçu que les considérations employées pouvaient être présentées sous une forme plus générale. C'est ce que je vais indiquer, en reprenant la question (lès le début.
Envisageons d'abord une substitution rationnelle sur les m lettres
<Jn suppose que ^=y = ...=:^:=o est un point double de cette substitution et que, dans le voisinage de ces valeurs, on peut écrire
x' = ax -f- Qi (./■, y. .... t), y = by -i- Qi { X, y, t ),
t' = It ^Q„,(:r, j'. .... t),
les Q étant des séries entières, commençant par des termes au moins du second degré; il est admis de plus {[ue
l«l > fj 1^ I > ^ •••' I ''I > I' (') Comptes rendus, 4 juillet 1904.
et enfin, on n"a pas entre deux quelconques des coefficients a,b, ...,/, soit par exemple a et h, de relations de la forme
«/' = Ij ou fj'\^= a {Il et k entiers positifs). 2. Ceci posé, on peut trouver des fonctions de m lettres «,i',...,iv',
/( ;<, r, . . . , iv), o( M, f, . . ., (p), ..., 6( ?<, i\ . . . , tv)
holomorphes dans le voisinage de /<=: r :=...— iv =: o, méromorphes dans les plans de ces variables complexes, et satisfaisant aux équations fonctionnelles
[fiau.bv, ..../a') = R, (/, (p, ...,-h), ] o(au,U-, ...,/<t')-R2 (/, 'f, ••.-'{^),
\ 'hi au, bi-, .... /ir ) = Hw(/, 'f . . . .. ^l*)-
La démonstration de ce résultat peut se faire de différentes manières, soit par le calcul direct des coefficients des développements autour de l'origine, soit en procédant par approximations successives, comme je l'ai fait dans le cas beaucoup plus difficile où se présentent à Torigine des singularités essentielles {Acla inatltcDiatica, t. X\ III et XXIII, Siif une classe de transcendantes nouvelles).
On part de la remarque que léquation fonctionnelle
/{au, bi\, . . . , hv) = afi u, r, . . . . ir) -i- Pi u. v, .... ir ).
où P(«, (', . . ., iv) est une fonction holomorphe donnée autour de l'origine, commençant par des termes du second degré, détermine complètement y, si Ton suppose que le coefficient de la première puissance de u a une valeur donnée (soit l'unité). Il est alors facile de montrer que les approximations successives
fniaii, bi\ ..., /(!') = a/n {u, r, . . ., »>) -+- Q, [fn-i. 'î,i~i. • • ., ^«-i], 'ç„{au, bç, ...,lw) = b'fn{u.v, ..., (p) — Q, [/«-i, 'f«-i, ..., '^«-i],
'l'„{au, bv, ..., la') = l<\>,i{u, i\ . . . , w ) -i- Q/„ [/„,, o„,, .. ., •}„! |, où l'on part de
fo = II, '-^0 = V, ..., '% = "',
et où, dansy,,, -j,,, . .., 'b,j, les termes du premier degré sont respectivement u, V, . . ., U', convergent uniformément vers une limite. On obtient ainsi la solution des équations (2), holomorphe autour de
ÉQUATIONS fon(:tio>.m:lli:s et si rfa«;i:s ai.cébriqles. 467
Idriiiiiie; 011 fait eiillii aisément, au moyen de ces équations foncliorinelles elles-mêmes, le prolongement analytique des fonctions pouitoutes valeurs de «, «', . . ., tv, de manière à avoir des fonctions partout méromorphes.
3. Le résultat précédent sY'lend au cas où Ion aurait, au lieu des m lettres indépendantes .r, y, ...,/, ces m lettres liées par une relation algébrique admettant une transformation rationnelle en ellemême. Il suffira de prendre le cas d'une courbe et celui d'une surface algébrique.
Soit une courbe algébri(jue
admettant la transformation rationnelle
( x' = Kif.r, y).
{ y' — Ro(.r. r).
Nous supposons que l'origine soit un point simple de la surface el un point double de la transformation précédente. Alors, autour de l'origine, les équations (3) se ramènent à l'unique équation
x' =^ ax -^ Oxix),
Q, ne renfermant pas de terme du premier degré, el nous faisons l'hypothèse que \a\ est supérieur à un. Dans ces conditions l'analyse du paragraphe précédent est applicable, et l'on a finalement, pour la courbe F,
/et '9 étant des fonctions méromorphes de // dans tout le plan, satisfaisant aux équations fonctionnelles
fUia) = Kil/i u), cp(«/)], oiaii) = Ri\f( u). o{u)\.
Mais ce résultat ne donne rien de nouveau. En ellet, de ce que | a | est difi'érent de un, il résulte que la courbe F admettra une injinilé de transformations rationnelles en elles-mêmes el, par suite, elle sera du genre zéro ou un. Si la couibe est du genre un. la constante a sera , nécessairement un entier (sauf le (\ts de multiplication complexe).
h. Que donnent les considérations précédentes pour une surface algébricpie? Nous supposons que, pour une surface algébrique
Fus J'r -) = *>7 P. ET S.. II. ' 3r
468 NOTK I.
il V ail une transforinatioii ralionnelle en elle-même
y' — Rafa^, y. ^), s' = R3(.r, r. -)
susceptible, dans le voisinage de Torigine (point simple de la surface), de se mettre sous la forme
x' = ax -t- Qi(.'r, y),
Oi et Qo commençant par des termes au moins du second degré, en admettant de plus que
On pourra alors exprimer les coordonnées j:', y, z d'un point rpielconque de la surface par les formules
/, o. 'l étant des fonctions méromorplies de u et r, satisfaisant aux équations fonctionnelles
/(au, bv) = R] [/(//, V), o(u, c ). 'b( ii, ç )], o(aif, ici = R-ilfiu, ('), o(u. v). 'iii i(, fij, •Il {au. bi'j = R3[/(«, t'i, ç(i/, i' ), 'l(u, (•)].
Quelle est rétendue de la classe des surfaces que nous venons de /encontre/'? C'est une question à laquelle je ne puis malheureusement répondre.
La surface admettra manifestement une iniinité de transformations en elles-mêmes, que l'on obtient en prenant les puissances successives de la transformation initiale. Quand il s'agissait d'une courbe, nous pouvions conclure qu'elle était de genre zé/-o ou u/i. mais on ne connaît rien de général sur une surface admettant une iniinilé disco/itinue de transformations rationnelles. On sait seulement, comme l'a montré le premier M. Humbert, qu'il existe des surfaces admettant une infinité discontinue de transformations rationnelles sans admettre une infinité continue, et M. Painlevé en a donné un second exemple extrêmement simple ( ' ).
(') Voit- sur ce point le dernier Cliapitre de ce Volume (dernière Section).
iMi'ossimi.nf: de ckoiim-s df: i-oims sru im: siufaci. Ai.(.i:i!itioi i:. '|<*9
Les sui-races ltyp('rcUii>h(iii('s rciilreiil évidemnieiil (liiiis le t\()e précédent, sans parler bien enleiulu des surfaces unicursales. J^our les surfaces liyperelliptiques générales, la mulliplicalion par un entier/^ des arguments conflnira au cas de
Il serait, je crois, intéressant de rechercher s'il y a d'autres surfaces que les précédentes (avec leurs dégénérescences) rentrant dans la classe sur laquelle certaines équations fonctionnelles appellent ainsi l'attention.
SUR L IMPOSSIIÎILITE DE CEUTAINES SERIES DE GROUPES DE POINTS SUR UNE SURI-ACE ALGÉBRIQUE,
Par y\. Emile PiCAiiD (' ).
1. On sait que Ton peut trouver sur une courbe algébrique une série de groupes de ti points dépendant de «paramètres et correspondant uniformément à des fonctions abéliennes (non dégénérescentes) de n variables «i, ii^, .... u,,, c'est-à-dire de telle manière qu'à un système de valeurs des u ne corresponde en général qu'un groupe de points et que, inversement, à un gioupe arbitraire de la série ne corresponde qu'un seul système de valeurs des a, abstraction faite des périodes. Le nombre n. comme il est classique, est égal au genrep de la courlie.
Une question analogue peut être posée pour les surfaces algébri([ues :
Est-il possible de trouver sur certaines surfaces algébriciues des séries de groupes de n points, dépendant de m paramètres, et cor-
( ' ) Journal de Mathémalujiies, h" série, t. IX.
respondant uniformément à des fonctions abéliennes {non dégénérescentcs) de in variables m,, «2i •••i Hnn c'est-à-dire de telle manière qu'à un système de valeurs des u ne corresponde, en général, qu'un seul groupe de points, et que, inversement, à un groupe arbitraire de la série ne corresponde qu'un seul système des u, aux périodes pi es?
Cette circonstance peut se présenter pour /i = i, et l'on a alors les surfaces liyperelliptiques. îl paraissait vraisemblable que, pour d'autres valeurs de //, on aurait des classes de surfaces algébriques jouissant de la propriété indiquée. En réalité, il n'en existe pas; c'est ce que je me propose de montrer ici.
