ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ENTRE LES AIODLLES

on arrive à l'équation suivante trouvée par Jacobi

, "^ dk ' di,-- ~ \ dk' )

( -^ -dF Li^^=^ ) [^J ~ l^r=TV J ^ ''

qui devient

l 1 {dkd' / , — df,, d' /) — 3 {[d/,d- / , Y — (/// , dH-)']

^-^'' dkX-ii^Jidk

en laissant la variable arbitraire quelconque.

Il faut observer que rien, dans les calculs précédents, ne suppose n entier, et il suffit que n soit une constante quelconque. Lorsque n est commensurable, les modules A' et A, sont liés par une équation algébrique. Ainsi l'équation (lo) jouit de la propriété remarquable d'avoir une infinité d'intégrales algébriques de différents degrés, son intégrale générale est déterminée par la relation

, . il', il' a' w -F 8' w' (12) —!-=« — = ;r-r-»

^ ^ il, ii w -r Sw

,6, a', |2' étant trois constantes arbitraires.

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES AU MOYEN DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

237. Dans le chapitre i du livre II, nous avons incliqué une mélhode générale pour étudier les propriétés des fonctions définies par les équations différentielles. Nous nous pioposons actuellement d'appliquci' cette méthode aux équations dillérentielles de la forme

dans laquelle F désigne un polynôme entier entre la fonction ii

, , . , du 11. ' I • '

et sa dérivée-—) du degré m par rapport a cette uerniere, et

ne contenant pas la variable z.

Nous démontrons d'abord f[u'à chaque valeur de a correspondent//i valeurs dez, augmentées ou diminuées de multiples quelconques de certaines périodes o), w', ....

Nous démontrons ensuite que , si à chaque valeur de la variable correspond un nombre limité de valeurs de la fonction «, l'intégrale est la racine d'une équation algébiique entière entre u et une quantité qui est , ou la variable indépendante z elle-même , ou la fonction circulaire

tang — ) ou la fonction elliptique "k [gz).

Nous concluons de là que, si l'intégrale est monodrorae, c'est-à-dire n'a qu'une valeur pour chaque valeur de la variable, elle est, ou une fraction rationnelle, ou une fonction Jiionodrome simplement périodique, ou une fonction monodrome doublement périodique. Dans le premier cas, l'intégrale est le quotient de deux polynômes entiers en z, Vuu du degré m, l'autre du degré m au plus. Dans le second

INTÉGRATION l'Ail LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. -283

cas, riiiléi;iale s'exprime pai' une traction ralioniicllc en lang - ; dans le troisième cas, par une Iraclion latioimclle

entre la fonction elliptique 1 {gz) et sa dérivée X'.

iSous nous occupons spécialement des équations différentielles qui admettent des intégrales raonodromes. Nous donnons d abord les caractères très-simples par lesquels on reconnaît, à l'inspection de l'équation diiTérentielle, si l'intégrale est inonodrome, et ensuite nous disons comment on distinguée quelle catégorie elle appartient.

Cette étude directe de l'équation ditïerentielle a une grande importance, elle nous donne d'abord les propriétés fondamentales de la fonction intégrale, et en caractérise la nature. Elle nous permet , en outre, d'effectuer l'intégration, telle qu'on l'entend habituellement, c'est-à-dire d'exprimer la fonction intégrale au moyen de signes convenus, lorsque cela est possible. Nous trouvons la forme de l'expression et nous calculons ensuite les coefficients. Ces coefficients sont de deux sortes, ceux qui entrent dans la composition de l'expression et ceux qui servent à définir la fonction circulaire ou tang — » ou la fonction elliptique 1 {gz). JNous obtenons les premiers an moyen d'équations du premier degré. Lorsque l'intégrale est simplement périodique, la constante o), qui entre dans la fonction circulaire, est fournie immédiatement par l'équation diflérentielle. Lorsque l'intégrale est doublement périodique, les deux constantes g et A, qui définissent la fonction elliptique, sont données par des équations algébriques d'un degré plus ou moins élevé.

238. Nous avons appliqué notre méthode d'intégration aux équations différentielles binômes de la forme

et nous avons démontré que. outre les cas où l'intégrale est

284 LIvr.E VI.

rationnelle ou simplement périodique, il existe onze équations différentielles de cette forme qui donnent naissance à des fonctions nionodromes doublement périodiques.

Nous avons appliqué la même méthode à d'autres exemples plus compliqués. Voici quelques-uns de ceux que nous avons traités.

L'équation dillérentlelle

admet une intégrale rationnelle

L'équation dilférentielle

du\^ / clu\'' 4 / \-, 4

fcl'l\' 4 / . -r

\clz I 27

dz ) \dz I Q.'] ■2'J

aduret une intégrale monodrome simplement périodique, cpii a pour expression

- tang — I 1+ tang- —

w , 7TZ

l-^ -taiitî' —