mg,i = np,p — q,, 7.ni'g,pi = ^p\p — r
Supposons A réel et 0 -^ //, /• étant réel ; pour que ^, soit réel, il faut faire //, = «7, r= o , il eu résulte
■^yG Liviin V
<'V'st-à-tlirr
/-'i /// y fil m
Si ]'o!i ne demande pas cjue ^i soit réel, o devra être racine «rmie équation du second degré à coefficients entiers , ou' de
la forme ; ' il fa\idra ensuite crue 1 on ait
"' cl'
et cela suffit.
2--{-i. Revenons au cas général. Désignons par ^i lerapportdes ])ériodes — • Si les fonctions aux périodes o), m' et fo,, o)' sont
liées par une équation algébricpie , il faut que Ton ait .
A + Bp, °~"C+ Dp,*
Supposons celte condition remplie, l^armi les diveis systèmes de périodes qui la véri tient, si ion prend ceux qui satisfont
aiix lelatious
M = Aii -I- BP-', (,.'= Cil ■+ Dii',
on sait que la fonction aux périodes il, fl' s'exprimera algébriquement par la fonction aux périodes w, m'. Pour cju'il y ait une relation algébiique entre celle-ci et la fonction aux périodes o),, w, , qui a même module que la fonciion aux périodes il, iî', il faut également qu'il y ait une relation algébrique entre les fonctions dont les périodes sont respectivement ^),, '•) ^ et il, il'. Si le rapport /:, n'est pas de la forme
,1 t /; J c . £1 il' .
— ; —•> il faudra que le rapport — =z —y soit commen-
, , ... 1 r n -Jr I) v' — ^ i suraDie ; njais si le rapport c, a la loime ■> le rap-
11 fi' . Il'
i>ort — r= -7^ pourra avoii' une v:i!cnr (luclconfiue Av la loriiM,'
li<^LATH)^ DU I itnEMir.J.LK i:>jkf. i.f.s modues. :/jy
CUAMTRE YllL
ÉQL'ATIOjy DIFl-ÉKKKTIELLIÎ EMUE LES AIOnULES.
Equation différentielle entre le module k de la fonction /. (z, A) aux périodes elliptiques w, o)', et le module A, de
la fonction / (^i z, Aj) aux périodes elliptiques - -, 0/ . !23o. Cotisidéions los deux inU'gralcs (It'liuies (1) A= r
ces deux lulégrales étaut prises \c. long d'une iiièine ligne quelcouquc menée de l'origine au j)oiul u = i.
On a
B = / " du
i- (la
Jo S, i — u- \,l i — /-' «^
Jo \/(i — U-) (i — À- 11^) Jo sj \ — U- ) ( I — A- U-)
Mais en intégrant par parties, on obtient
(In
/' du ^ /*' " t/«
d'où
Dérivons maintenant par rapport au module A les intégrales
A et B, il vient
dk r' n' (fit
'dh~ \ v/("i — «=)(i— /■^«,)3 '
/•' I— k'ie ,■" dti
</A /*' I— h' II} /■" r//^
dk~
c'est-à-dire, d'après la relation (3).^
ou B = (a -f-/ — l(i — >5M.
On a de même
,dB , dB
(5) /-— =B — A, ou A = B— X-— -
{in cik
Si on élimine 13 entre les équations (4) et (5), on trouve que A satisfait à l'équation linéaire du second ordre
L'une des valeurs de A, celle (|ui correspond à l'intégrale
rectiligne,e5t-^ ; puisque l'équation (6) est linéaire, w est l'une
des solutions de cette équation. Les diverses valeurs de A sont comprises dans la formule
dans laquelle m et ii désignent des entiers quelconques 5 donc l'intégrale générale de l'équation (6) est
Jo v/(i— «M (i— /,^ //■■') Jo
du
C el C étant deux constantes arbitraires.
2^50. Soient maintenant fl, li' deux périodes élémentaires
ÉQUATiop» 1)11 I i':i;ExMii:ixe émue i.ks modi les. 2^9 (juelcoïKjiics de I;i toiK lion 1 [z^ A); (•'t'sl-à-ilirc deux péi iodes définies par les loriuiiles
a = ao) + h m' ,
il' = rO>-+- fl<.>' y
les cnlicrs vérifianl la condilioii
ab — cd = i .
Les périodes H, n'sali>roiit à ré(|ualioii diHercntielle (6), ainsi on a
d'D (la
(IHl ^ , du' , ,
dA'
de ees rel allons nn déduit
l d'il rZ-il' I , ..vF /'''^ f^^-'l
Cl, en intégra ni
du 7/1
du' "I
don
et
/ ( I — A - ) \cib — cd] [',> — - — M —— = C , ^ ' y (Ik (II, j
du du' C
dk
dk k[i—k')
d- =—— — dk,
U / I— /-Mil'
C étant nne eonstantc indépendante dn conple de périodes élémentaires iî, 11'.
Désignons par A, et g^ le module et le paramètre de la lonetlon aux périodes élémentaires
les cjuanlilés ,.q, flj, g\^\ satisfont à l'écpiallon difïéren-
aSo LIVUE V.
lielle que l'on obtient en niuplacant dans (7) la variable indépendante A par Â) , et l'on a
. \ if, il / \ ii, ./ \ ^
cP il,
La comparaison des équations (7) et (8) donne
En remplaçant dans l'équation (6) A par g^ lîi et k par /cj on obtient
et, en multipliant par g,.
Mais
par suite
,1 L r= (^ — — — — • = rili il, — ;
dk, dk dk, dk,
il en résulte
r <^' "•. , du, \ dk
En subsliluant pour ^-^j sa valeur donnée par l'équation (y) //. (îisparait, et si l'on prend /. pour variable indépendante
