CHAPITRE PREMIER

PUOrUlETES DES IJ\"TEf;R.\LES DE L EQUATION niFFEKEjVTIELI.E

239. Théorîime I. — Éiajit (louncc nue cujiiafion ('ijjvrcnt ici le (le la forme

286 IIVUE \1.

dans laquelle F désigne un polynôme entier etitre lajonclion

n et sa dériuée — i du degré m par rapport à cette dernière,

et ne contenant pas la variable z^ à chaque valeur de n correspondent m valeurs de z augmentées ou diminuées de multiples quelconques de certaines périodes.

Soit m le degré de l'équation par rapport à — -• La variable z

part de z ^= z^^, la. fonction u ayant la valeur initiale arbitraire i/o , et le coefficient différentiel une valeur déterminée

I — I , satisfaisant à l'équation . Considérons d'abord u comme la variable et z comme la fonction^ à cbaque valeur de u correspondent m valeurs de -^5 données par l'équation. Si la variable M, partant de z/oi revient au point de départ après avoir décrit un contour fermé ne comprenant aucunpoint pour lequel la racine de l'équation («) devient égale à une antre, le coefficient différentiel -— reprendra sa valeur primitive ( -— | , et Tac-

croissement de z, c" est-à-dire la valeur de l'intégrale le long de ce contour, se^a nul. Mais, si le contour fermé décrit par la variable u comprend un ou plusieurs points pour lesquels l'équation admet des racines égales, le coefficient différentiel

pourra changer et prendre une valeur différente i -^) '; en

faisant décrire à la variable «différents contours fermés, on obtiendra nécessairement les m valeurs du coefficient différentiel

et), (*), (*),..„ ('IL) ,

\duJo \«M/i \dii I ^ \duj,n^i

qui correspondent à u = Uo, et l'intégrale z acquerra les m valeurs correspondantes

Plusieurs contours pcuveni conduire à la même valeur de

INTÉGRATION l'AU LKS FONCTIOINS El.I.lPTIQLKS. 28"

dz , , ,

-— : nous nous nornons poui' le moment a tn contours lamo- (lii *

n.nil m valeurs dislinetcs de -— •

(lu

Supposons maintenant cjue la variable u^ après avoir décrit un quelconque de ces m contours, aille du point Uç, à un point quelconque u du plan, en suivant un certain chemin, par exemple le chemin rectiligne, l'intégrale z prendra in valeurs distinctes au point //. Ainsi à chaque valeur de u correspondent déjà m valeurs de z.

Nous avons fait usage de contours fermés qui donnent au

coefficient diflerentiel — les ui valeurs qui correspondent à

Il = //q. En décrivant un autre contour fermé, on reproduira

nécessairement Tune des m valeurs précédentes de —• Consi-

au

dérons un contour fermé, comprenant des points pour lesquels léquatioii admet des racines égales et ramenant la valeur initiale ( -7- ) du coelTicient différentiel; désignons par oj l'ac-

croissement de z le long de ce contour. Si Ton fait maixher la variable u de //q à u suivant une ligne cjuelconque, soit directement en partant de l'origine u^, soit après avoir décrit le contour fermé dont il s'agit, le coefficient différentiel redevenant le même en ?/o et restant par conséquent le même le long de la ligne, on aura la même intégrale définie dans les deux cas; seulement la valeur de z sera augmentée d'une quantité constante o). Si 1 on avait décrit deux fois le même contour fermé, on aurait augmenté la valeur de z de la quantité constante 2 oo , et ainsi de suite. Comme on peut ajouter ce contour fermé une ou plusieurs fois avant chacun des chemins dont nous avons parlé précédemment . on voit qu'à chaque valeur de u correspondent actuellement m séries de valeurs de z en progressions arithmétiques dont la raison est w.

S'il existe un autre contour fermé , ramenant la valeur ini-

liale ( — ) du coeflicieiit diiï'érentiel avec un accroissement w'

\ du 1 0 diflérent de co, cet accroissement o)' sera une seconde période,

et chacune des m valeurs de z pourra être augmentée de multiples quelconques de w et de w'. On obtiendra ainsi un certain nombre de périodes que l'on pourra en général réduire à un moindre nombre de périodes distinctes.

Il suffit, pour avoir toutes les périodes, de considérer les contours fermés qui ramènent la valeur initiale ( -y- ) du coefficient

différentiel, avec divers accroissements o:», w', . . . , de Finlégrale. Imaginons, par exemple, un contour fermé qui ramène la valeur!—^) et qui fasse acquérir à l'intégrale la valeur

^j l coj • si, après avoir parcouru «-e «ontour, on décrit en sens inverse le contour qui a j)roduit la valeur r, , on reviendra à la

valeur initiale ( -7- 1 du coefficient différentiel, l'intégrale

ayant alors une valeur telle que Zq-I-w. Ces deux contours réunis forment donc un des contours considérés précédemment.

On conclut de ce qui précède qu à une même valeur de u. correspondent m valeurs de z dont cliacune peut être augmentée de multiples de certaines péiiodes w, w', . . . ,

^40. Remarque I. — 11 peut arriver que l'intégrale définie, le long de cliacun des contours fermés qui ramènent la valeur

initiale! — | , soit nulle. Dans ce cas, à chaque valeur de u

\duJo

correspondent seulement m valeurs de z. D'ailleurs z nedevient infinie que pour un nombre limité de valeurs de u ; car lorsque

2 devient infinie pour une valeur finie de u, — devient nulle;

la valeur de u annule donc le terme indépendant de -- dans ré(|uation ditférentielle. Si l'on considère une fonction symétrique entière des jn valeurs de z, telle que leur somme, cette fonction, étant raonodrome par rapport à u et n'ayant qu'un nombre limité d'infinis, sera une fonction rationnelle de i/. Il

i.\Ti:r.nATio> v\v. j.r.s fonctioiss tllii'Tioi f.s. 289

en résulte que z est ia<:iue d une écjualioM du dei^rc' m par rapporta z, dans laquelle les coefficients sont des fractions rationnelles de u. R(''<i j)rof[ueinent, «est une; fonction algc'britjuc:

de z (n" 13).

241 . Remarque II . — INous ferons observer que riiuéi^rale d'une é([uation différentielle

contenant la variable z, F désignant toujours un polynôme entier, ne peut être périodique. Car, lorsque la fonction u est

périodique, à des mêmes valeurs de n et de — correspondent

une infinité de valeurs de z. Mais Tintéûfrale peut êlre algébrique, et même entière ou rationnelle.

2i2. Théorème II. — Lorsqa elle admcL un nombre limilé de valeurs pour chaque valeur de la variable, l intégrale est une jonction algébrique, soit par rajqx.rl ci z, soit /u/r rapport à

tang — , soit par rapport à f.i^gz).

JNous allons faire voir d abord que, lorsque la fonction intégrale admet un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de z, elle ne peut avoir plus de deux périodes ; car, si elle avait trois périodes distinctes o), w', w", elle admettrait un nombre infini de valeurs pour chaque valeur de z. En effet, quand on fait marclier la variable z le long d'une courbe, Tintégrale est bien déterminée. Soient u et a' les valeurs qu'elle acquiert aux points ;; et z' de cette courbe. On sait que Ion peut déterminer trois nombres entiers m, m', m" , positifs ou négatifs, de manière que la somme ijkù -f- m' m' -f- m" m" diffère infiniment peu d'une quantité donnée z — z' . Supposons qu'après avoir fair marclier la variable jusqu'au point z' , on loi fasse décrire ensuite le ("hemin

m(-i -f- m' m' 4- tn" m" ,

de telle sorle que la fonction u décrive les contours fermés qui produisent iesaccinissements m;),tii '})' .m" '.)'\\n fonction i)!(>n-

290 LIVr.E Vî.

lirait au point z la valeur ?/ qu'elle avait au point quelconque z' de la courbe suivant laquelle on a inlégré. La fonction aurait ainsi au point z une infinité de valeurs.

On conclut de là ([ue la fonction intégrale ne peut avoir plus de deux périodes. Dans le cas où les périodes sont nulles, fintégrale, comme nous l'avons fait voir, est donnée par une équation algébrique entre u et z.

Supposons qu'il n'y ait qu'une période distincte w ■, à chaque valeur de u correspondent m valeurs de 2 ,

augmentées des multiples de w, et par conséquent seulement m valeurs de tang —•>

tang — 1 lang — 5 tang — »• • •• ■> tang

Toute fonction symétrique entière de ces quantités, telles que leur somme, la somme de leurs produits deux à deux, etc., sera une fonction monodrome par rapport à u ; cette fonction monodrome, ne devenant infinie que pour les valeurs de u en

nombre limité qui correspondent à z = ~, sera donc une

iraction rationnelle de u. Ainsi tang — est donnée par une

équation du degré m ayant pour coeflicients des fiactions raraiiounellcs en u. Réciproquement, u sera donnée par une équation ayant pour coeflicients des fractions rationnelles en