TT Z

tang

Supposons maintenant que l'intégrale admette deux périodes distinctes oi et w'. Concevons une fonction elliptique l {g^) définie par l'équation

et admettant les deux périodes o) et 00'. A chaque valeur de n correspondent jn valeurs de z,

iNTÉGUAïION PAR l.KS JONCTIONS KLI.IPTÏQX ES. '*9*

augnieiilées des muliiples des deux périodes o) et (>/, et paroonséquent seulement m valeurs de / (,^z),

On verra de la même manière que toute fonctioti symétrique entière de ces quantités, étant monodrome par rapport à u, et n'admettant (ju un nombre limité d'infinis, est une fraction rationnelle eu u. On en conclut que 1 {gz) est donnée par une équation du degre m en X ayant pour coefficients des fractions rationnelles de u. Réciproquement , u sera donnée par une équation avant pour coefficients des fractions rationnelles en ). {gz).

243. Théorème Ilï. — Lorsqu'elle est monodrome, l intégrale est, ou une fraction rationnelle, ou une fond ion simplement périodique, ou une fonction doublement périodique.

Supposons que, par un moyen quelconque, on ait reconnu que l'intégrale de l'équation diiférentielle

rsl monodrome dans toute l'étendue du plan. D après ce que nous avons dit dans le théorème précédent, le nombre des périodes ne peut surpasser deux. Si les périodes sont nulles, la fonction, étant algébrique et monodrome, est une fraction rationnelle, c'est-à-dire le quotient de deux polynômes entiers en z, l'un du degré m, l'autre au plus du degi^ m.

Si la fonction est simplement périodique, elle s'exprimera

par une fraction rationnelle en tang —-Car l'équation entière,

TZZ 'j • I

qui existe entre u et tang — ^ se réduit, dans ce i:as, au premier degré par rapport à u.

Si la fonction est doublement périodique, l'équation entière qui existe entre u et X {gz) se réduit, non'pas au premier degré, mais au second degré; car, à une même valeur de À correspondent dans chaque parallélogramme des périodes, deux valeurs de z et. par conséquent, deux valeurs de //. Mais, en ré-

solvant réquation, on ol)lient pour u iine fraction rationnelle enXet// (n° 78). .-. • .- .-

Moyens de rcconuailre si la Jonction intégrale est nio-

nodroive.

24 i. Nous avons démontré que l'intégrale d'une équatior?

différentielle de la forme

lorsqu'elle est nionodrome, est ou une fraction rationnelle, ou une fonction simplement périodique, ou une fonction doublement périodique. Nous allons maintenant nous occuper des moyens de reconnaître si l'intégrale est monodrome, puis nous dirons comment on distingue à c]uelle catégorie elle appartient. Nous avons fait partir la variable z du point ^=^0, la fonction n ayant la valeur initiale arbitraire //o» et le coefficient diflérentiel une valeur déterminée Uo, satisfaisant à l'équation.

Tant que le coefficient diiïérentiel —■> cjue, pour abréger^ nous

représenterons par U, reste lacine simple de l'équation proposée, U est une fouctioji monodrome de u et, par conséquent, H fonction monodrome de z. Voyons ce qui arrive lorsque, z arrivant au point Sj et n à la valeur z/j, le coefficient diflérentiel devient racine multiple de l'équation.

Nous distinguerons ces racines multiples en deux sortes : les racines nulles et les racines différentes de zéro. .,

Sio. Supposons d'abord cjue le coefficient devienne égal à iuie lacine multiple U,, différente de zéro. Posons

z=: z,-h z , nc= u,-+- u , -— = U.

vSi u' est une fonction monodrome de z' autour du point z' = o, elle se développera en série convergente suivant les ])uissances entières croissantes de z',

(2) . n' = l\z' + nz"' + liz'^ -H ... ;

IMÉfJU VTION l'AK LES lONCTIONS KLLll'TIQl ES. 9.g^

la série coiiiiiiciicc pai' un icrinc du j)icMMiei' deyré ayaul pour <;ocllicient U] ; car, pour z'= o, ladéri\ée

(3) — = II, -t- 2 <7Z' 4- 3 bz'- + . . .

doit se réduire à la valeur Lj. La série (2) montre que, réciproquemeni, z' est une fonction inonodrome de Ji' s'évanouissant avec u', et (jui pourra se développer en série couvergenle suivant les puissances croissantes de «',

z' = — II' -+- a' u'- -h h' 11'^ -h . . . .

En renipla<;ant z' par sa valeur dans l'équation (3), on voit

que -— - est une fonction monodrome de //'. * az

Ainsi , lorsque le coefficient diflérentiel Ij devient égal à une racine multiple différente de zéro, pour que la fonction intégrale u reste monodrome, il est nécessaire que la fonction implicite U, défmie par Féquation

reste elle-même fonction monodrome de u. C'est ce que l'on reconnaîtra aisément par la métliode employée par M. Puiseux pour l'étude des fonctions algébriques.

246. Supposons maintenant que le cocflicient différentiel U devienne égal à une racine multiple nulle Posons, comme précédemment,

3 = S, + S , If = U, A- it , — ^ =r U ;

ré([uation (i) ne renfermera que des teinies infiniment petits contenant en facteurs dos puissances de u' et de U.

Comme l'a fait voir M. Puiseux, quand plusieurs racines deviennent égales entre elles en un certain point z' = o, elles se disposent par groupes de n racines qui se permutent le unes dans les auti'cs circulairement, lorsqu'on tourne autour de ce point, et les n racines du groupe se développent en une

2^4 LÏVRE Vï.

série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de 2'",

(4) IT =1= A «'» H- B «' « -h Cu' " + . . . .

Nous n'avons pas à nous occuper du cas où le degré du premier ternie est égal ou supérieur à l'unité^ car, dans ce cas, quand u' tend vers zéro, z' augmente indéfiniment, et la circonslauce dont il s'agit ne se pi^ésente pour aucune valeur finie de z. Nous supposerons donc l'exposant du premier terme plus petit que l'unité, et uous allons démontrer que la condition nécessaire et suflSsante pour que la fonction intégrale reste

monodrome, c'est que ce premier exposant - soit de la forme

u — Il

ou I

En effet, si la fonction u' est monodrome, elle se développera suivant les puissances entières croissantes de s', et comme la dérivée s'annule avec z', la série ne contiendra pas de termes du premier degré. On aura donc

(5) u' = nz'" 4- bz'"-"-' H- cz'"+' + . . . j d'où l'on déduit

(6) 1^ = naz'"-' -h{n-h i) bz''^ -h

^ ' dz

En vertu de la série (5) , c' est une fonction de u' c[ui se développe en série convergente suivant les puissances croissantes

de ?/", de telle sorte que

7J = a' a' n -Jf- b' a' n -{-... .

Si l'on remplace z' par sa valeur dans Téquation (6) , on aura, une série do. la forme

iV ï^=-'^"' " +Bu'" + Cu' " ^

INTÉOUATIOiN PAU LEà rOlSCTIOIVS Kl. Ll l'TIQ€E.S . "îqS

Ceci montre bien que le j)reiiner lerme de la série (4) tloil