SOI
n exposant - iiTeduclible et de la forme ou
Celte <'ondition est sullisante-, car si elle est remplie, l'équation diKérenliellc donnera pour le eoefficienl différentiel un développement de la forme
du" En posant on obtient
-~=kit' " -+- B «' " +C«' " H- . . . Iz
(lu „ du , ,, . „
=z nu "-^ — r = AU "-' -+- Bu" -+- Crt ""^' -h. . . ,
dz dz
Cl plus simplement
du" A B ,, C „, dz n n n
Le coellicient différentiel —r-, étant une fonction monodrome
dz
de u" ne s'annulant pas pour li' =^ o, la fonction intégrale «" est une fonction monodrome de z' et, par conséquent, il est elle-m.ême une fonction monodrome de z' .
217. La fonction intégrale u peut encore acquérir des valeurs multiples d'vuie autre manière; c'est lorsqu'elle devient infinie pour une valeur finie Zj de la variable z. L'équation différentielle, ordonnée suivant les puissances décroissantes de
du , , .
— - 1 s écrira dz
Nous remarquons d'abord que les coefficients, qui; nous avons désignés par yi (u) ,/'j («),... , doivent être des fonctions entières de u. Car, si la fonction intégrale est monodrome
i*C)6 j.ivuE vr.
dans toute l'étenduL- du plan, sa dérivée jouit de la môme liropriété et ne devient infinie que lorsque la fonction u devient elle-même infinie. Or, si l'un des coefficients était une fraclion rationnelle en u , il deviendrait infini, ainsi que — ^ pour
^ dz '-
une valeur finie de /;.
Pour voir ce qui ai rive quand la fonction u devient infinie pour une valeur finie de la variable, posons , . .
d où l'on déduit
du I r/c
dz ('^ dz
l.'('(pialion différentielle devient
Pour que la fonction intégrale v soit monodrome, il faut d'abord, d'après ce que nous venons de dire, que cette nouvelle équation ait tous ses coefficients entiers. Ainsi le polynôme j\ [u] sera au plus du second degré, y, ('<) au plus du quatrième degré, . . . ,fm (") au plus du degré im.
Afin de rendre u infinie, faisons t^ = o. Si, pour v =. o ^ léquation (9) n'admet que des racines simples, la fonction i^ sera monodrome et, par conséquent, la fonction u le sera également. Si l'équation admet des racines multiples, on leur appliqu^era les caractères donnés précédemment.
!248. En résumant ce qui précède, nous ])ouvons énoncer le théorème suivant :
THÉORi:ME IV. — Pour r/nunc tunicition di^érentielle du premier ordre de hi forme
dii\" ,. , , I du\"'-'
IMTÉGRATXO.N PAU LES FONCTIONS KLLll>TJOUES. Ugj
admette nue inlégralc nionodronie : i" les coejjiciciits J^ («), J'z [a) . . . , J,„ [u) (loii^enl cire des poljiiôincs entiers en u et, au plus, le premier du second degré ^ le second du quatrième degré,... ^ le dernier du degré 2 m,- "iP quand ^ pour une certaine valeur de n, V équation a une racine undliple dijjé-
rente de zéro, -— doit rester monodronie juir rapport ci uj
3" quand, pour une certaine valeur Ui de u, Véquation a une
racine multiple égale à zéro, le premier terme du développe-
ment de — -, suivant les puissances croissantes ne (u — «1)"'
doit avoir L exposant , si cet exposant est plus petit (pie
l'unité- 4" enfin Véquation différentielle que Von déduit de
la première en posant u = --^ doit offrir^ pour 1^=0, les
mêmes caractères.
Il est évident que ces conditions sont suffisantes.
Moyens de reconnaître l'espèce de la fonction intégrale.
249. Nous avons donné les caractères auxquels on recounait si l'intégrale est monodrome. 3iOus savons d'ailleurs que, lorsqu'elle est monodronie, l'intégrale est, ou rationnelle, ou simplement périodique , ou doublement péiiodique. jNous allons l'aire voir maintenant comment on distingue à laquelle de ces trois catégories appartient la fonction intégrale.
Il peut arriver que, u étant considérée comme la variable et z comme la fonction, z devienne infinie quand u tend vers une certaine valeur. Si, pour une valeur unie u^ de », 1 équation (8) admet une racine nulle, et si le piemier terme du développement
(lu -
dz
a un cxposanl - égal ou supérieur à 1 unité, il est é\ident cpie, lors(|uc u tendra vers la \aleui u^. z augmentera indélinimenl.
■2gS LIVRE VI.
De même, si, pour u = o, l'équation (9) admet une racine nulle d'un degré égal ou supérieur cà l'unité par rapport à p», quand i^ tendra vers zéro, ou u vers l'infini, z augmentera indéfiniment.
250, Quand aucune de ces circonstances ne se présente,
c'est-à-dire quand, dans les équations (8) et (9), les racines
nulles sont, par rapport à u — m, ou à p», d'un degré inférieur à
l'unité, z ne devient infinie pour aucune valeur finie ou infinie
de u. Il est aisé de voir que, dans ce cas, la fonction intégrale u
est doublement périodique. Concevons, en effet, que la variable
u se meuve dans toute l'étendue du plan, partant de l'origine
Fig- 33. , ,^ __ j^^^ suivant des chemins
I l I . rectilignes, et aussi en décri-
j i j j vant les m — i contours qui
/ **'" / / / • . . , dz
(i ■ ^ c / / ^^'^'^ acquérir à — les ui va-
/ \ ,' / \ / / leurs qu il peut avoir en
/ M / M'/ / chaque point. Puisque la
' ' ' ionclion z conserve une va-
leur finie, elle décrira une portion limitée du plan {Jig. 33). Prenons un point M' en dehors de cette portion du plan; z étant considérée comme la variable et u comme la fonction , quand z arrivera au point M', la fonction u aura une valeur
déterminée, ainsi que sa dérivée — -• A ces valeurs de u et * dz
de — correspond, dans la portion limitée du plan, un certain
point M; le quantité géométrique MM', que nous désignerons par 0), est une première période. Car, aux deux points M et M',
la fonction u et sa dérivée -r- ayant les mêmes valeurs, il est
dz •'
clair que, si la variable z, partant de chacun de ces deux points, décrit des lignes égales et parallèles, telles que MN, MTs', la fonction u aura sur ces deux lignes, aux points correspondants N, ]N', la même valeur. Ainsi la portion finie du plan abcd se reproduit à côté une première fois, puis une
IJNTÉOUATION PAU LES FONCTIONS F.I.LIPTIQL KS. 'H)[)
seconde fois, et indéiiniincnt. On obliciil de la sorlc une bande indéfinie. Prenons, en dehors de celle bande, un point INF; à ce point M" correspond un point M dans la portion finie du plan abcd, et l'on verra de même que la quantité i^éométrique M]VF, que nous désignerons par w', est une seconde période. Grâce à ces deux périodes o) et o/, la portion limitée du plan abcd, se reproduisant dans les deux sens, couvrira tout le plan. Ainsi, dans le cas que nous considérons, la fonction intégrale u est doublement périodique.
Il est évident d'ailleurs que cette condition est nécessaire; car une fonction doublement périodique prend toutes les valeurs, quand la variable z se meut dans un parallélogramme des périodes, et elle décrit un nombre infini de contours quand z augmente indéfiniment. Réciproquement, z ne peut devenir infinie que si u décrit un nombre infini de contours.
251 . Considérons maintenant le cas où l'intégrale est rationnelle, et supposons d'abord que le degré du numérateui' ne surpasse pas celui du dénominateur. Quand z augmentera indéfiniment, n tendra vers une valeur finie et déterminée «i. Si l'on pose
u' se développera suivant les puissances entières croissantes de t pour toutes les valeurs de t inférieures à un certain module, ou pour toutes les valeurs de z supérieures à un certain module, et l'on aura
11'= at" -f- bt"-^' +... .
On en déduit
les nouveaux coefficients étant liés aux premiers par les relations
«'" =: -5 ba'^ + nab' = o , . . . «
3oo LIVKK VI.
En dillérentiant , on a .
-- = /mt"-' -+- {n + i) ùl" -h . . .,
du' du' "^,
-,- = — t' ---■=: — jtnf'^' — /? 4- I ) bt"+' + . . . ; dz dt ^ '
si Ton remplace t par sa valeur l'n fonction de li ^ il vient
iJH- ? ;; -I- '}< H H- 4 " . ■ -
(lO) ^' =:: A«'~^ 4- C«'~^ + D/^'~^ 4-. . .
Il est à remarquer que, en vertu des relations qui existent entre
les coefficients , le coefficient du terme en u' " est nul. Ainsi, à une valeur finie «i de « correspond, dans l'équation différentielle, un groupe de n racines égales à zéro, et telles que le premier terme du développement a un exposant irréductible su-
pencur a 1 unile et de la lorme ou i -\ — i le second
ternie manquant.
Si le numérateur de la fractiou rationnelle est d'un degré plus élevé que le dénominateur, « augmentera indéfiniment avec z ;
mais t^ = - tendra veis zéro , et, pour >>- = o, l'équation (9)
ofirira un groupe de ii racines égales à zéro satisfaisant aux
conditions énoncées plus liant.
Réciproquement, si l'équation (8) pour une valeur finie u^
de z/, ou l'équation (9) pour 1^=0, présente un groupe de n
racines égales à zéro satisfaisant à ces conditions, c'est-à-dire
ayant un développement de la forme (10), la fonction intégrale
est algébrique. Car, si l'on pose //= a"", l'équation (10)
devient
du" n~-~= k u"^ ■+- C «"' 4- D u"' + . . V , dz
n du"
Au"' -\- C«"' H- Dw."-' +
^- -^ C -H D' u" -V-. ■ A du' — dz;
I.NTÉGllATIOK PAI\ LES J' f)N(:TIO]\.S F.l.M l'TiQl KS . 3(>I
en intégrant et ajoutant une (onslantc> .iibitiairo iV, on a A' , , „ D' „
— A' + B'«"-hC'«"'+.
On conrlnt de là que u' esl une fonetion monodrorne pour
tontes les valeurs de / inférieures à un certain module-, et
.qui se développe en série convergente suivant les puissances
entières croissantes de t.
a" = a f -f- p<- + 7 ?=> + . . . ; on a donc
II! = ot" ■+- ùt"-^' + . . . .
Il en résulte <[uc la fonction // conserve une valeur finie pour toutes les valeurs de z extérieures au cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon égal à R -, c'est donc une fonction rationnelle.
Lorsque la fonction intégrale n'est ni doublement périodiqiu-, ni rationnelle, elle est simplement périodiqiu^. C'est d'ailleiirs ce que l'on reconnaît directement, lorsque l'équation dilîérentielle, pour une valeur finie de u, ou l'équation (9) pour ^^= o, admet une racine nulle qui ne présente pas les caractères énoncés plus haut, et en même temps on trouve la période.
252. En résumant ce qui précède, nous avons le théorème suivant :
Théorème. \. — Lorsque réqualion clifféventielle remplit les conditions qui rendent l'intégrale monodrorne^ ï° VintégraJe est doublement périodique, si Téquation proposée^ pour aucune valeur finie Ui de u, et la transformée pour 1^ = 0, n'admettent de racine nulle d'un degré égal ou su/wrieur à l'unité par l'apport ci u — ?/, ou ii c,- 2" l'intégrale est rationnelle^ si l'équation proj)osée pour une l'alenr finie //, de //,
3o2 ^ ].rv lîE VI.
ou la transformée pour u = o, admet un groupe de n racines
égales à zéro, dont le développement, suivant les puissances I 1
croissantes de [u — 11^)" ou de v", commence par un terme du
desre , le terme suivant du ciesre étant nul:
3° autrement la fonction est simplement périodique.
Quand on a ainsi reconnu la nature de Tintégrale, on peut se proposer de la déterminer à Taide des éléments connus. Si elle est rationnelle , on trouvera les deux polynômes qui la composent. Si elle est simplement périodique, on l'exprimera rationnellement à l'aide de l'exponentielle ou de la tangente. Si elle est doublement périodique, on l'exprimera rationnellement à l'aide de la fonction elliptique et de sa dérivée; ce qui constitue une véritable intégration au moyen des Tables des fonctions elliptiques.
