Revenons à l'équation générale

INTÉGHATIOX PAll I.F,S FONCTIONS KLI.II'TIQL FS. 317

Soit Ui une valeur de a pour la(|uellc Téqualion admet une racine double U, dillérente de zéro-, on aura

et si l'on élimine U, entre ces deux équations, on obtiendra une é(jualion

à laquelle devront satisfaire les valeius de ii pour lesquelles U prend des valeurs multiples.

Posons ;/ = ;/, -+- u'. U = U, -+- L'; l'équation dinérenlielle ilevient

^U, 9. fitf, du' 2

(]omm(; l/doil restei' monodromc pai' raj)porl à u' (n" 2i5),

il est nécessaire! que

f/F __ du ,

L'équation (4) n'est autre chose que léquation (2), dans laquelle on regarde Uj comme une fonction de z/, donnée par l'équation (3) : on a donc

do dF dV dl\ diii du, r/U, du.

Ainsi léquation (4) n'aura t{ue des racines doubles; ç(") sera, en général, un carré parfait.

Î264. Appliquons à l'équation du troisième degré

(5) U -1- PU^ + Q = o ,

dans laquelle P et Q désignent des polynômes entiers en u . le premier au plus du second degré, le deuxième du sixième degré. Celte équation comprend toutes les fonctions monodromes doublement périodiques du troisième degré: car on sait que, dans une fonction doublement périodique, la somme des m valeurs de z qui, dans chaque parallélogramme, corres-

pondent à une même valeur de u est constante, et, par suite,

dz du

la somme des m valeurs de — ^ qui correspondent à une même

valeur de u est nulle: ainsi le terme du de^ré m — i en— ou

{lu