du
du premier degré en -— manque dans 1 équation. ^ " dz -^ '
On
U,= -ÎP,
ce qvii donne >
«,(»,)=r-^PÎ +Q,=0.
Cette équation n'aura que des racines doubles si le polynôme du sixième degré — P' -h Q est un carré parfait. Nous poserons donc
en appelant R un polynôme du troisième degré au plus. Telle est la condition générale à laquelle doit satisfaire l'équation du troisième degré, pour que l'intégrale soit monodrome et doublement périodique.
265. Considérons maintenant une valeur de u annulant Q; à cette valeur «1 correspondent, dans l'équation (5), des racines égales à zéro. Posons
u î= //, H- u' ; l'équation devient
Si «1 est racine simple de Q et n'annule pas P, U a deux valeurs infiniment petites 5 le groupe des termes du degré le moins élevé étant Pj U^ -f- Q', «', le premier terme dvi développement
de U suivant les puissances de u' ^ a l'exposant -■> lequel est de
IM'Ki.lU riON PAU LES lONCTIONS EI.M PTIOi; KS. i) I Q
la fttniic \ouIuc i (n"!2i6). Si </, est racine doubJo de Q
et anuuk'P, l. a irois \alruis iiifiniiueiit petites : li' premier groupe étant U* H- Q" ? le premier terme du développe-
ment a l'exposant^ ({ui est encore de la forme voulue. Ainsi,
pour que la fonction ijitégrale soit monodrome et dcniblement périodique, il faut que les racines simples de Q naniuilent pas P.^ et que les racines doubles de Q annulent P. D'ailleurs O ne doit pas avoir de racine triple.
Si une racine simple de Q annulait P, l'intégrale cesserait d être monodrome. Si une lacine double de Q n annulait pas
P. le piemier groupe élant P,L- -i- Q" — , tj se développerait
suivant les puissances entières de ii' ; le premier terme élant du premier degré, l'intégrale lesterait monodrome, mais serait
simplement périodique. Si Q avait une racine triple n annulant pas P, le premier groupe étant P,U- -h Q"' 5 et le
premier terme du développement ayant lexposani -•> Finté-
grale serait rationnelle (n° 2oi).
266. Il reste à examiner de la même manière, pour t^^ o, la transformée
Pour que Fintégralc soit doublement périodique, le dernier terme ne devant pas avoir de racine triple pour 1^ = o, il faut que le polvuômc Q soit au moins du quatrième degré. Désignons par p le degré du polynôme P, et par r/ celui de Q II Y a trois cas à considérer : 1° q = 6 : l'équation, pour u = o, admet trois racines différentes de zéro -, dans ce cas, la fonction doublement périodique a irois infinis simples dans chaque
O'JO ■ Llvr.K VI.
parallélogramme; .i*^ q =: 5 -, la valeur f := o élaui racine simple du dernier terme et ne devant pas annuler le coefficient de V% le polynôme P sera du second degré; comme à i^' = o correspondent pour \ une racine simple dilTérente de zéro et deux racines égales à zéro, la l'onclion doublement périodique aura un iniini simple et un infini double; 3" q :=^ f^-. la valeur p = o étant racine double du dernier terme et devant annuler le coefficient de \^, le j)oîynôme P sera au plus du premier degré; ^ ayant trois racines égales à zéro, la fonction doublement périodique aura un infini triple.
