Kxemple I . — Soit ré([uation différentielle

nous supposons que la variable part de s = o , la fonction ayant la valetir initiale z<=:o, et la déiivée la valeur correspondante U = I .

Le polynôme Q n a que des racines simples qui n'annulent

pas P. Le polynôme — P "■ -|- Q = — 27 «- est carré parfait.

La transformée

pour V = o, admet une racine iriple infiniment petite et du

degrc' Iz- Ainsi , en vertu du théorème V (n°252), l'iaiégrale

est monoJrome et rationnelle; ta p" = o correspond seulement z = oc : c est donc une fonction entière du troisième degré.

, La variable u n entrant dans léqualion qu à des puissances paires, si l'on fait mardier u à partir de l'origine, suivant deux

chemins opposés, il est évident que—- aura la même valeur

le long de ces deux chemins, ce qui donnera pour z des valeurs égales et de signes contraires. On en conclut que, réciproquement, à des valeurs de z égales et de signes contraires correspondent des valeurs de a égales et de signes contraires. Ainsi la fonction entière ne contient que des puissances impaires;

EXEMPLES L» INTÉGRATCON. 32 1

cll(; est (le la fornu'

Pour z = o , \j = i \ donc B = i . Quant au coefTifient A , on le déterminera aisément à Faide de la liansforniée. Le

premier groupe V'-}-27p'*=o donne r=:-: ilonc A=i.

Ainsi récjuation proposées admet pour Intégrale

fC = z^-{- z.