L-3 3lP— 2(« — i)'H-4 = o

INous supposons encore que la variable z part de 3 = 0, ri ayant la valeur initiale // = o et U la valeur correspondante U = i.

On reconnaîtra, comme dans l'exemple précédent, que l'intégrale est une fonction entière du troisième degré, « = As + Bz- +- Cô .

Si , au moyen de l'équation proposée , on développe la fonction U,

en s'arrètant aux deux premiers termes, on en déduit

d'où

La transformée donne immédiatement C = — Ainsi 1 inté-

grale est

Ces deux équations différentielles peuvent être intégrées facilement par les procédés ordinaires^ on vérifiera ainsi les résultats que nous venons de trouver,

s 9. '2 LIVllE Vf.

t2()9. l'.xcDij^le II l . — Soil 1 iHjualion ' -

La variable z part toujours d<' r = o, la fonciion ayant la variable initiale « = o et la dérivée la valeur U = i .

Le polynôme Q a ici une racine triple « = o, à lacjuelJe correî-pond pour II tine racine double infiniment peiite et (\k\

degré - par rappoil à ii. Le polynôme

ipM- O — — on (,/> — ^\ ' ■"'^■.:- '-

on - ' \ ■?.-])

l'St un carié parfait. La Iransforméc

n'admet, pour t' = o , que des racines simples dinérenles de zéro. On conclut de laque l'intégrale est monodrome et rationnelle.

Comme elle devient infinie pour trois valeurs finies de s, et infiniment petite du second degré pour 2 = 00, son dénominateur est du troisième degré , son numérateur du premier degré. L'équation difiérentielle ne conlioni que des puissances de u multiples de trois. Car, si l'on fait marcher // à partir de l'origine, suivant un <liemin c[uelconque, puis suivant un autre

que Ton déduit du premier, <'n multipliant ii par j = c ''' ,

dz

— ayant la même valeur le long de ces deux chemins, z de-

du "^

viendra jz. Ptéciprocjuement , quand on remplace u par /c, u devient ju. Ainsi la fraction rationnelle est de la fornuî

Pour // = o, Ll a une racine doubie inliniment petite; li* premier groupe — V^' -h 4"^= <> donne -7 = -• IJoiic A = 1 , et Tinlégrale cbeiclK'e est