IP U^ — 4 M- +9.7 U' = O

La variable pari de 2 = o, la fonction ayant la valeur initiale /é = o, et la dérivée la valeur U z^:^ i .

Le polynôme Q admet la racine double u = o^ qui n'annule pas P, et à laquelle correspondent pour D deux racines infiniment petites, monodromcs et du premier degré. Le polynô'ine

A p3 | Q an ( «^ + A )

est carré parfait. La transformée

pour r::=o, admet trois racines infiniment petites du de-

gré -• On < oncint de là que l'intégrale est une fonclion mono-

drome simplement périodique, ayant un iniini triple dans chaque période.

La période se produit quand 11 tourne autour de l'origine, D ayant une valeur infiniment petite. L équation , bornée au premier groupe

IJ ' + 4 "' = " » . f'f< — = ± 2 idz ,

monire (|ue la période est 7:.

EXEMPLES d'iKTTÉGIIATION. ^^S

LV'quaiion ne tonl("ii;mi (|uc dos puissances paires de//, \;omme dans Texemple J, la loiiclion u cliangedc signe avec z. Donc

Ceci ne peut avoir lieu que si r: :=; - esl un zéro ou un inlini ;

mais la fonclion ne devient nulle que pour 2 = o et 2 = oc ; il

en rc'sulle que z = - est l'infini triple.

l-a fonclion simplement périodique a s exprime rationnellement au moyen de la fonction tangz qui a la même période tt. L'infini étant aussi le même, l'expression est entière, et 1 on a

u := A tanj5 z -(- B tang' z.

Pour z =: o , U = I ; donc A = 1 . Pour les petites valeurs de «, le développement de la fonclion U, dont la valeur initiale est i, 3x>rné aux deux premieis termes , est

donc \V=. I. La fonction intégrale a pour expression Il = tangz -t- tang^^z.