Exemple VI. — Soit l'équation
La variable part de z = o, la fonction ayant la valeur initiale « = o , et la dérivée la valeur U = 1 .
Le polynôme Q admet la racine double u = o qui n'annule pas P-, les deux valeurs infiniment petites de U sont du premier degré. Quand // tend vers zéro, z augmente indéfiniment,
et Ion a la période o) = — ^ tt/. Le polvnôme — P' + Q est
«arré parfait. La transformée
?):i6 i.i>r,E VI.
pouit'= o, adnu't liois racines simples
\j = e ^ J. ee (|ui fait trois iiiiliiis simples. Ainsi 1 inlégralc «'st monodroine el simplenieni périodique. Celle fonction s'ex-
niimeia ralionnellenienl au moyen de laui^— •
Si 1 on remarque que u ne devient nulle cjue pour z = o et r = oc , et que les valeurs de \ o ■. ^ i . ^ 2 sont les racines d'une (qnalii>n binôme, on voit que 1 expression a la forme
''> nz j -z \
. -lang — . i-f- laiig —
Il rrr — — •
A tani
Pour trouver le coellicient A , développons la fonclion U, dont la valeur initiale est i, pour les très-petites valenrs de //. On a, en se bornant aux trois premiers termes ,
(! on 1 on déduit
Il =: I U- -i II' ,
01 or
En déveiojq)ant de même i'expression de n el idenliliant. on trouve
Ainsi 1 intégrale clierchée est
tang — ( i-i- tang- —
I ~\ — tan^'
TZl.
■27;>. Exiinplc J II. — Soit i"e(pialion
r.XEiMPI.ES n f>Tl^GnATtON. 32*
La variablti pari de z --=z o, la foiicliori ayajil la valeur ti = <> el la dérivée la valeur L= i.
Le polynôme Q n a que des racines sim[)l(;s ([ui ii aunu-
lent pas P. !,e jmlvnômc— P'' -h (^ csl carre paifail. l,;i transie )i' m ée
pour i' :=: o, se réduit à N ' — i — o et a trois racines simples ditl'érentes de zéro. On en conclut (|ue lintégtale est rnonodrome et doublement périodique (n" î2o2).
Posons j = e '' . Si Ton remplace z par;^, u devieiii jii, el la dérivée ne change pas ; la fonction change de signe a\ec z. Les deux périodes sont '-> el j'o. La lonclioii a trois inlinis simples,
et trois zéros simples,
->ous nous proposons d exprimer cette (onction tiouMcmeni périodique au moyen de la fonction eliiptic|ue ?. (^2, /. ), (pii admet les deux périodes w el /o). On sait que les deux zéros
de la fonction eliipiique sont o et - 5 et les deux infinis
— et
l.a tonclion u/. n a plus liiifini -• iiiai.s elle a les deux infinis
doubles — el — : elle s exprime donc de la manière sui-
vante :
( a ) iil =: A).' + B + CÀ' ;
!e polynôme du second degré cii /. ne contienl pas de terme du premier degré, puiscpu; la lônclion n/. ne change pas quand on chance le ^ii;ne de /.,
Il iaul déteiniiner les cinq conslanlcs A, B, C, ^, />. Le développement de la fonclion elliptique suivant les puissances Cl oissantcs de ~ est
cl où
D'autre part, la fonction implicite U, dont la valeur initiale rsl Funité, a pour développement
Il = 1 1- . . . ;
En substituant dans l'équation (a) et égalant les coefficients des mêmes puissances de z jusqu'à la quatrième inclusivement, il vient
(2) xg^c---^g=i, -
L'équation transformée, pour p- = o, se réduit à V^ — i =05 les trois racines sont i, /",7^ On peut supposer que la première se rapporte à z = - ? la seconde à .z = — et la troisième
à — • Posons d'abord z =z — ^ z\ on aura, en se bornant au 2 2
premier terme,
(=3 2, <t ou U —'- — •
Mais on sait que
EXEMPLES T) INTÉGRATION. Ox.y
Si l'on substiliic tlans rcfiuatioii (a) . il viendra
l^osons maintenant
et remarquons (|ue on a d ailleurs
(' = /Z , (I ou II = •
En substituant dans Téquation (a), il vient (5) A~CA=-g/.j.
Si ron pose
en remarquant que
on aura
Mais nous \ errons que cette relation rentre dans les précédentes.
Les équations (i) et (4) donnent
l.es équations (5) et (6), par soustraction, donnent de même
C = -• Ainsi la relation (6) rentre dans les premières.
De l'équation (5) on déduit
•53o LIVRE Vf.
Si, pour ahiégcr, oii pose
les t"(}iuuioiis ( j ) {'t f:^ ) cioinieiit
(I an
-j— = - = i\,i3i, /=/iV3±;?,^,
Si I on piciid le^ signe.-, supérieurs , on a (nialcnienl
cl I intégrale a pour expiession
274. /{jcnip/e f III. — Soit léqualion U' — 31'-' — 2 ( /<- — I j' -!- 4 = o. i.ii variable part de :3 = o , la fouelion ayant la valeur ijiiliale // = o, et la déiivée la valeur U = i .
Cette équation présente tous les caractères qui font reconr.ailre nue intégrale monodrome et dovibleinent périodique, i.e polynôme Q n étant (fue du quatrième degré, ( etle fonctiois admet un infnii triple. Désignons par f») et 'ù' les deux périodes. La fonction ciiangeanl de signe avec z, ses trois zéros seront
o, -■> — 1 Cl son miini triple — ■
Nous esprimei'ons encore cette inléi^rale au moyen de la fonction elliptique ?.. i.a foncliou --, n admettant plus qu'im
inlini douldc ^ — — ~i aura une expression iV- l;i loi nie
aa'-i- r>-i-C/,'. ■ ' - ■
EXEMPLES n'iN'J lifir.ATIOlV. 33 I
Oi) aura dont
(a) « = >, (A).^^- li-h C>/).
W faut (Ictriniinci les ( iii([ ^■<»^.slaMt(^^ y\. 1», C, ,^', '<.
Pour Ifs valours ti c.s-|)(îilc.s de z, <mi se honiaul au piciuiciterme, on a
ce (jui doniu; la rclatinn
(0 Bg-^Cg=^^. ■
Pour II = I). 1 <:f|ualu)n ililïércnli<'lle d('\ient
IJ'— 3U^ -h 'i — o;
si Idii supprime l,i solution L =1 (|ul correspond à z =^ a ^
elle se rétiuit a
U' — 2 U — ?. = o ; d'où
U = I qr s/3.
Faisons cor respondre la prtmdère racine h z = - la seconde
a z = — 1 osons r = — h - - nous auions ■?. 2
Il := [i — v'3) ^'; <1 où i on déduit, en substituant ilans 1 équation (a),
(a) Bif — C^^ =r V 3 — I.
Posons (le inenie z ^^ h 2 , nous aurons
et, en snbsliluani dans ré([uation (2:), nous oblieiuirons les. deux relations
J>a transformée
donne, pour le premier lernie du développement.
en posant z = h z' . Si l'on substitue dans l'équation
(î<), on trouve la relation
Nous avons maintenant un nombre d'équalious sutïisant pour la détermination des eonstanles. Les équations (i).^ (2), (3), donnent
Substituant ces valeurs dans les équations (4) <^'l (^): on obtient les deux équations
d où 1 on déduit
