Exemple IX- — Soit Téquation

La variable part de z = o, la fonction ayant la valeur initiale ,1/ = o , et la dérive la valeiu^ U = i-

L intéi;ralc est nionodiomc et doublement périodique; elle

change de sicinc avec z- elle admet trois zéios simples o. -> ' ^ * ' 2

— , cl trois iiiliiMS siiiii)lc's 5 +• ■' 5 — '''■ '-< loncliou

" ^' --, dans laquelle — i=/'-(/î), n'admettant plus que

rinfinl double — •> aura une expression de la roiiiu-

A},2 4- B 4- C//. On a donc

(a) ?<(i— A^y^^ = /. (A V + B + Ca').

Il s'agit (le déteiniiucr les six eonstanies A, 13, C, /^ ^, A.

Pour n = o, Téquation dilîérentielle se réduit à U'^ — 1= o, ee qui donne les trois solutions \j =1, U =7% U = — y, en

•iT /'

représentant toujours par ; ia quantité e ' . La première \aleur eorrespoiul à 2=0; en se bornant aux deux premiers termes, on a

U = I ^ 7:: «% tl'oi'i //= 3 z*; ' ■

en subsliluanl dans Téquation (a), ou obtient les deux relations

Si nous faisons eorrespoiulre à z = - la secoiule solution \]n=ij''. nous aurons // =/" z\ d'où

(3) ■ • ^g — Cg = -f.\

La troisième solution L = — /" eonvienl à z =: — 11 en résulta-

11= — jz'; en substituant dans l'équation (a), on obtient les

deux relations

(4) A=rCX-,

(5) • /,y = Bg^+\gl-^> ■■

KXKMIM.KS I) INTI^.(;UATI()N. 335

l.a lr,m>l(ninc'c

j)our t'=o, SI" jc'duil à \' — ^\ ' -\-/^t=i). Celle équaliuii adinel la racine simple \ = — i el la ra» iiie double \ r= 2. La

racine simi)le correspond à Tinlini z = — ^— , la racine double

aux deux intinis z =-h a ci z = — a. Si I on pose

il vienl

ce qui (loniu' la relalion

Des équalious (1), (3), {/j), (6), on déduit

En subsliluanl c<'s valeurs dans les é((nalions (5) el (2). et posant, pour abréger.

on oblienl deux équations du picniier degré en p el y, d où Ton

iduil

3 — li \IZ ^2 4/\,^

Ainsi les coelîicienis sont déterminés, et l'inlégrale a pour expi'ession

A(A).-+B-hC>/) - '

"= rr^ry^— •