VU
avec la condition q? = o pour 2 = 0.
On peut déterminer la constante A, de manière que cette fonction admette les mêmes périodes w et yw; puisque
(n Ij z) =^ i (s^ [z) ^ elle auia alors les deux zéros o et ; et
l'infini double • Cette fonction se développe en série
de la manière suivante :
La fonction u (i — A* 9'') dans laquelle W^ = -—7—;» n'a que
l'infini quintuple — :• La fonction cp contenant ce même
infini au second degré et cp' au troisième degré, le produit 99' le contiendra au cinquième degré, et l'on pourra déterminer la constante A, de manière que la fonction
« (l fl" f') A Cp!j>'
ne contienne plus cet infini qu'au qu itrième degré 5 puis la constante B, de manière que la fonction
« ( i — h^ tp^) — A '^cp' — B (p^
ne le contienne plus qu'au troisième degré : puis la constante C, de manière que la fonction
// (1 — ^'''v') — A f'Y* ~ B f- — Cy'
EXEMPLES d'intégration. [V.]y
nv \v conlicnnc plus qu'au second degré ; puis la conslanlc D, de manière que la fonction
Il {\ — h' o") — Atpo' — B ip- — Co' — Do *
ne le eoiitieniu! plus qu au picmier degié. Celle dernière lonclion. n'ayant (pi'un infini, est une constante E. On a donc
« ( I — /< ' f) = A îp-p' -{- B"/ + C »' + D 'i -h K.
Mais la fonction /i s'annulant pour z = o. et deAenanly// (|uaii(l on remplace z par jz. les constantes B, C, F. sont nulles. On a donc finalement
(a) u{\ — Ir f) = A cp-/ + D ?*.
Il faut déterminer les (pialre constantes A, D, fi . h. Pour // := (). I ('(jualion dilli-rentielle se réduit à
et admet les trois solutions
li~i, U=i— v/3, IJ=:i4-v^3.
La })remière correspond à z = o ; si Ton «léveloppe en se bornant aux deux premiers termes, on a
ce ipii dniiMc les deux conditions
(1) A-|-Dr=i,
(2) 5AX-^-DX-=^-8/r'.
Nous lerons correspondre la seconde lacine à z =— — On a
ainsi
« =z I — V 3)~') ci. comme
j;58 MVRE Vf.
on (>l)li(Mit la iclalion
La troisienif racine correspond a z = ? et donne lacoîî
dition
Des éi|uati<>ns (i). (3), (4), ou tlédult
D = ^, A=:— ^^, X- = 4/r(5 + 3v3). Siibstiliiaiit dans I é(juatu)n (2), il vient
On (onnait ainsi la (onction intégrale
278. Exemple \/. — Prenons ])oni' dernier exemple Tefjuation du einqniènte degré
Tî' + («2 - i)\y' — ±-,r-[u'—iY = o,
dans laquelle la variable part de z = o, la fonction ayant la valeur initiale n = o, et la dérivée la valeur U := i .
Pour 7A = ± I , réfjuation admet cincj racines égales h zéro-, ces cin([ racines forment un groupe circulaire, tel qtie, si Ton pose (1= ±i-hn', le jnemier ierm(^ du développement de U,
suivant les puissaru'cs croissantes de /<'S a l'exposant -•
Pour II = 0, outre la raciric l' ^- t , léfjualion admet «pialn racines ('gales à zéro rpii (ornicnt detix croupes circulaires
EXEMPLES n INTÉOIUTION. 33y
foinpi'enaiil ( l)acuii deux i;uiiic,s, cl lcls,(juc le jiremior Icniic
du cléveloppcruenl dediacuii d eux a pour cxposanl -•
Les raiiiics multiples' difféicntes de /.éro soiil (lonnées pai' 1 équation
obtenue en éi^alanl la dérivée à zéro. F.n substituant telle valeur dans l'équation proposée, on a 1 étjualion {ir — i)'' = o. qui n'a pas d'autre solution que //=dzi. Ainsi i é(|ualion différentielle n'admet pas de racines nuiltiplcs diliéientes de zéro.
La transfoimée
pour u = o, se réduit à V ' — ^ ' -h ^ = o ; elle adincl l.i ra-
cine double \= - et trois racines inégales données par I é- (jualion du troisième degré
La racine double présente seule quchpic dillicullc. si i on pose
on voit que le premier groupe compienant un terme en \'' cl un terme en p-^ V est raonodrome par rapport à t^'.
L'équation différentielle présente doni: tous les caraclères qui distinguent les intégrales jnonodromes doublement périodiques. Cette fonction change de signe avec z. Elle admet un zéro simple et deux zéros doubles -f- a et — «, et cinq inûuis
snnplcs, -) — 5 • -{- b ci. — /'. i'our 1 exprimer au moyen
de la loncliou elliptique A [f^z. A) on rcmaïquc rpic la fojK-
lion // / (i — fr}x-), dans la(|iielle y =; À [h) ir.idnieUanl [Ans
que les deux inlinis ouadruples — el , ou aura
(a) Il À (i— h' 1-) = A À' + B A- + C 4- (D A- + E) y.
11 faut déterminer les huit constantes
Si l'on développe en série pour les petites valeurs de z, on a, en se bornant aux deux premiers termes.
<'n substituant dans l é(pialion (a), on obtient les deux relations
(2) Bg^Dg-E—g=i.
Servons-nous maintenant des infinis. La racine double ^ = ^ de la transformée donne les deux infinis + h el — h • les trois racines simples de l'équation
donnent les trois infinis -» — •> • Appelons V,, V., , \\
les trois racines de Téquation (jS) que nous faisons eorres-
