DÉFINITIONS

1. INI. Caucliy df'iinit do (-olte manirrr les fondions d'une variable imaginaire. Soit

z = .r -f- yi

la variable imaginaire; si l'on désigne par X et Y deux fonctions réelles queleonques des deux vni'iables réelles x et j , la

quantité

pourra être considérée comme une fonction de z ; car, à chaque valeur de la valeur imaginaire z, c'est-à-dire à chaque système de valeurs des variables réelles x ety correspond un svslèraede valeursde X et de 1 , et par conséquent une valeur de u. ha valeur imaginaire z est la réunion, au moyen du svin -

bole V — I, t|vit; nous représentons par la lettre i, de deux variables réelles et indépendantes x ei y. La variation de z est indéterminée, car on peut faire varier simultanément les deux \ariables x et >', en établissant entre elles telle relation (jue I on voudra. Si les deux fonctions réelles X et Y varient d'une manière continue avec x et y. on dit que u est une fonction continue de z.

On se fait une idée très-nette de ce qui précède, en imaginant que X et y soient les coordonnées rectangulaires d'un point z du plan horizontal , la variation de z sera ligurée par la courbe décrite par ce point, (^ue 1 on conçoive, en outre, deux .surfaces ayant pour oidonnées verticales, l'une X, 1 autre Y, ces deux surfaces représenteront la fonction u; si le point z décrit dans le plan horizontal une certaine courbe, les extrémités des ordonnées verticales traceront, snr les snifaces, deux ligues dont l'ensemble hiditpuTa la variation correspondante de la fonction //.

I)KFI.^IT^o^;

On peul aussi i'('[)i('-si'iil('r l.i ioiiftioii // . comme la vaiia- 1)1»' Zf <Mi supposant que X et Y soient les coordonnées reclangulaii esd'un point u du plan liori/ontal. Quand le point z se meut suc une couibr. le point // déciit une <onibe corresjiondante.

^. Concevons que la variable :; «leste comprise dans une certaine portion du plan : si la fonction u acfjuiert la même valeui' au même point, (juel que soit le chemin suivi pour v arriver, sans sortir de la portion du plan considérée, M. Caucliv dit que la fonction est inonodionic dans (elle portion du plan. Il est clair que, si le j)oint z décrit une courbe fermée quelcouipie dans la portion du plan considérée, la fonction u revient à la même valeur, en d'autres teinies. le point u déciii aussi une t:onrbe fermée.

Une fonction rationnelle de z est une fonction nionodrorne dans toute rétendue du plan. Il en est de môm<> lorsque X et Y sont deux fonctions rationnelles quelcompics de x et y\ plus généralement, lorsque chacune des deux surfaces, par lesquelles nous représentons u couvre tout le plan horizontal par sa projection , et n a (ju Un |»oint sur cliaqne verticale.

3. Considérons, comme exemple, la fonction détinie pai' 1 équation

INous supposons que, pour z = o. on a // =: -|- i : failifr. I. saut vaiifM .s à partir- du

point O sui- une courbe quelconque , nous suivons la variation tie z [)ar la c(>ntiiuiité. Mar-quons le point A qui correspond à la valeur z = — i [fig- i)- Deux chemins très-rapprochés 0B3I , OC-M , allant du point O à un même point M du plan, et ue Comprenant pas entre eux le point A , conduiront à une même valeur de //.