LIVRE PREMIER

Eli effet^ sulxli visons les deux chemins en élémenls correspondants très-petits Ohi , Z»i h^ v i ^^i 5 Cj Cj ,... ^ si Ton va du point O au point voisin bx par le chemin OZ»i ou par le chemin Ocj Z»j , on arrivera à des valeurs de u peu différentes de la valeur initiale ii = H- i, et par conséquent peu ditlérentes entre elles. Mais cette différence est rigoureusement nulle, car les deux racines de l'équation u^ = z -{- 1 ayant entre elles au point bi une différence finie, on a nécessairement la même racine z/j. Partons maintenant du point bi avec la valeur z/j de la fonction comme valeur initiale, et allons au point voisin b^ par les deux chcmij)s b^b^, b^c^c^ib^'^ en vertu du même raisonnenieni, la fonction prendra au point b^ la même valeur u^ : mais quand on revient de Z>i en c^ , la fonction reprend en c, la valeur qu'elle avait en ce point, quand ou allait de O en C] ^ ainsi les deux chemins 0Z»2, Oc» b^ , conduisent à la même valeur z/, de la fonction en bc^. En continuant ainsi de proche en proche, on voit que les deux chemins OBM, OCM, conduisent à la même valeur de la fonction en M.

Il résvilte de ce qui précède, que deux courbes quelconques allant du point O au point M, et telles, que l'on puisse, par déformations successives , transformer l'une dans l'autre sans passer par le point A , conduisent à la même valeur de la fonction au point M. Ainsi la fonction u est monodrome dans toute portion du plan cjui ne comprend pas le point A, par exemple, dans le cercle décrit du point O avec un rayon plus petit que l'unité.

Supposons maintenant (jue l'on aille du point O à un point a voisin du point A {fig- 2), t't c[ue l'on décrive autour de ce point une courbe fermée très-petite abcda ; les deux racines de l'équation différant très-peu l'une de l'autre dans le voisinage du point A , la ibnction ne revient pas à la valeur qu'elle avait primitiveuKMit eu A. En ellet, si Ton pose

on a

Il = r^ e^ .

I)1-F1NITI0>S.

Quand z dctr'if. lu dioite 0<7, la Nalciir di; la fonction rcsle t'C- ' réelle el positive el diminue

" de H- 1 à H- ;•' ; ([uand z

dëciil ensuite la courbe fermée ahcda , l'angle 0 varie de o à '2 7:, la fonction u acquiert en a la valeur

j négative ;■' e^' ou — /''. Si

' l'on revient de a en O sui-

vant la droite «O, la fonction reste négative et arrive en O avec la valeur — i, différente de la valeur initiale -f- i.

Il est aisé, d'après cela, de comprendre comment deux chemins OBM, OCM {/îg. 3), comprenant entre eux le point A, conduisent à des

valeurs très-différentes de la fonction. En effet, prenons un point a voisin de A et décrivons autour du point A une courbe fermée abcda\ le cliemln OBM peut être î-emplacé par le chemin OrtM \ de même, le chemin OCM par le chemin Oabcda~S\-^ car, en déformant le dernier, on le ramène à OCM sans passer par le point A. Suivons maintenant ces deux chemins OaM, Oabcda^i , peu différents l'un de l'autre^ de O en a les valeurs de la fonction sont les mêmes de part et d'autre. Quand, suivant le second chemin, z a décrit autour du point A la courbe fermée ahcda ^ la fonction revient en a avec une valeur différente de celle cpi'elle avait précédemment^ on part donc du point a avec des valeurs différentes pour parcourir la même ligne a M , et les deux valeurs de la fonction diffèrent de plus en plus.

Ainsi la fonction cesse d'être monodrome dès que la portion du plan considérée comprend le point A. On peut classer les