CHAPITRE IV. — Propriétés générales des fonctions

l'afres.

Théorème I. Lorsqu'une jonction est synectique dans une certaine portion du pian, toutes ses dérivées sont aussi des fonctions svnectiques dans la même étendue 34

Théorème II. Lorsqu'une fonction synectique, dans une certaine portion du plan, s'annule pour une valeur : = c comprise dans cette portion du plan, elle est divisible par (c — a)", n désignant un nombre entier fini 35

Théorème III. Quand une fonction monodrome et monogène devient infinie pour c = rz, quel que soit le chemin suivi pour arriver à ce point, le produit de cette fonction par (3 — rt)", n désignant un nombre entier fini, conserve une valeur Unie 3^

Théorème IV. Une fonction , monodrome et monogène dans toute l'étendue du plan, devient nécessairement infinie pour une valeur finie ou infinie de la variable 38

Corollaire I. Une fonction, monodrome et monogène dans toute l'étendue du plan, devient nécessairement nulle pour une valeur finie on infinie de la variable 38

Corollaire II. Une fonction, monodrome et monogène dans

toute l'étendue du plan, acquiert toutes les valeurs possibles. 39

Théorème V. Deux fonctions, monodromes et monogène.s, qui admettent les mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré de multiplicité, sont égales à un facteur constant près 39

Théorème VI. Toute fonction tnonodrome et monogène qui ne devient infinie que pour ; z=z x , sans devenir indéterminée, est une fonction entière 39

Théorème VII. Toute fonction monodrome et monogène, qui n'admet (]u'un nombie limité d'infinis, est une fraction rationnelle ... 4*J

Théorème VIII. Toute fonction monogène, qui admet m valeurs pour chaque valeur de la vaiiable, devient nécessairement infinie 4 '

Théorème IX. Toute fonction monogène, qui a m valeurs pour chaque valeur de la variable et (jui n'admet qu'un nond)re limite d infinis, e.^t racine d'uiu- é(j(iation algébriipie 4'

TABI-i; DES MATIKKES. Vl£

IIVIIE II.

CHAPITRE I. — Méthode générale pour l'étude des fonctions définies par les équations différentielles.

Faïcs.

Lcmnies 4^

Une équation différentielle admet pour intégrale une fonction synectique, tar.t que le coeflicicnt différentiel reste lui-même

syncclique 4-*

Extension de ce théoirmc à un système d'équations différentielles simultanées 49

!\laniére dont s'engendre la fonction intégrale 53

Cas où le coefficient différentiel devient infini 54