LIVRE PREMIETl

chemins qui vont de l'origine à un point quelconque M du plan en deux catégories : ceux qui se lamènent au chemin rectiligne sans passer par le point A, et ceux qui ne peuvent s'y ramener qu'en passant une fois par le point A ; les premiers conduisent à la même valeur de la fonction au point M, les autres donnent une autre valeur à la fonction.

Nous avons vu qu'une circonférence décrite autour du point z\ change la valeur de la fonction. Un second tour reproduira la valeur primitive. Ainsi, tout chemin qui se ramène à un autre en passant deux fois par le point A , conduit à la même valeur de la fonction.

4. Une fonction implicite définie par une équation algébrique entre z et u^ présente des circonstances analogues à celles dont nous venons de parler. On part d'un point déterminé z =^ Zq avec une valeur initiale u = iio , Tune des racines de Féquation pour z = z„: le point z décrivant une certaine courbe, la fonction ii varie d'une manière continue. Tant que Ion reste dans une portion du plan ne comprenant aucun' point pour lequel la fonction n devient égale à une autre racine de l'équation , la fonction est monodrome. Elle cesse en général de Vctre dès que l'on dépasse un de ces points. Les fonctions de ce genre sont l'objet d'un remarquable travail de M. Puiseux, ([ui a fait voir comment les racines de Féquation se permutent les nues dans les autres quand on tourne autour des points pour lesquels l'équation a des racines égales ('*').

o. Pi enons pour second exemple la fonction

u = log( I -Fz).

INous supposons que l'on parte de z = o avec la valeur initiale u = o. Cette fonction est monodrome tant que l'on reste dans une portion du plan ne comprenant pas le point A qui correspond à r = — i . Mais si l'on tourne autour de ce point, la fonction éprouve à chaque tour un accroissement égal à

^ " ) Joiiiiml de },l:iihcii;al:<jiici c!c ^!. I.Kiiivilio, (<imc\A', ]>ii£,c 360.

DEIIM J■1()^S. ^

2 7îij elle est donc siiscepliblc de prcudic en f:li.i(jvic jKjinitlii plan une infini lé de valeuis.

G. Lorsqii une lonclion u d'une vaiiablcî imaginaire z esl continue, à un accroissement infinimenl petit de la variable correspond un accroissement infiniment petit de la l'onction, et la limite du rapport de l'accroissemeni de la fonction à Taccroissement de la variable est la dérivée de la fonction. On a donc

du clX-hidY

dX , dX ^ /dY , r/Y ^ V

tlx -h -j- dy -h { -j- dx + — - rfr d.T dr -^ \ d.T dy

dz dx -i- i dy dx -\- i d)

dX ,dY jdX .^/Y\ dy du dx dx \ dy dy I dx

dz dr

dx

En généial la dérivée dépend de la quantilé -j- ■> et i)ar con-

séquent delà direction du déplaceiueiit iiiiinimenl petit donné

au point z. A chaque direction de déplacement correspond xme

dérivée particulièie, et la fonction a ainsi, pour une même

valeur de z, une infinité de dérivées.

Lorsque la valeur delà dérivée est indépendante de la direction du déplacement, en d'autres teimes lors(|ue la fonction admet une dérivée unique en chaque point, M. Cauchy dit que la fonction est monogène.

Pour qu'une fonction soit monogène. il est nécessaire (juele

dy rapport arbitraire — disparaisse de Texpressiou de la dérivée,

ce qui exige que Ton ait

dX .r/Y dX ,dY dx dx dy dy

Les fouclions X et \ étant réelles, celte équation se décompo>c

8 LIVRE PUEMIEH,

en deux :

\ clx~ dj' i ^ __ ^Y ' dy dx

7. Ces conditions analytiques ont une signification géométrique très-remarquable. Considérons les deux surfaces ayant pour ordonnées verticales X et Y, les relations (i) indiquent que si Ton fait tourner d'un angle droit, et de l'axe des x vers l'axe des j^, la surface X autour d'une verticale quelconque, le plan tangent à cette surface au point situé sur cette verticale devient parallèle au plan tangent à la surface Y au point correspondant. En effet, les normales aux deux surfaces X et Y font avec les trois axes des coordonnées des angles dont les cosinus sont proportionnels respectivement à rfX f/X

r/Y dX

dx dy

La rotation indiquée amène l'axe des x dans la direction de i axe des y, et la direction de l'axe des j^ dans la dire<Hiou inverse de l'axe des x-^ après cette rotation, la normale à la surface X fait donc avec les axes primitifs des angles dont les cosinus sont proportionnels respectivement à

ou, en vertu des rf

donc elle est parallèle à la normale à la surface Y.

On voit aussi que si par une verticale on mène deux plans rectangulaires quelconques, les tangentes aux sections déterminées par ces deux plans dans les deux surfaces font des angles éeaux avec la verticale.

rfX

dx

lations

I ) . aux

quantités

dX

dX

;zr'

DÉFliNlTlONS. 9

Remarquons eucoïc ([nv , poui' «juc la fonction u soit nionoi^èn'e, aucune des deux fonctions icelles X et Y, qui la composent, ne peut être aibitraire^ car, en vertu des relations (i) , chacune des fonctions doit satisfaire à l'équation aux différences partielles du second ordre

Les deux surfaces X et Y ne sont convexes en aucune de leurs parties-, car leurs indicatrices aux points correspondants se projettent sur le plan horizontal suivant des hyperboles équilatères égales, dont chacune a pour axes les asymptotes de l'autre.

8. Les conditions (i) pour qu une fonction soit nionogène sont susceptibles d'une autie interprétation géométrique qui a été remarquée par M. Cauchy . Si Ton représente la fonction u , comme la variable z, par le mouvement d'un point dans le plan horizontal, quand le point z se déplace dans diverses directions', le point u se déplace également suivant des directions différentes; si la fonction est monogène, les courbes décrites par le point u font entre elles les mêmes angles que les courbes correspondantes décrites par le point z. En effet, soient ds et ^S deux éléments correspondants décrits par les points z et M, on a

{dsy = {dx)'-\-{dYy

fdX , dX , \ •• /c'/Y , dY , \^'

= [-d^'^^-dj^'^) -^[-d^'^-'-iijV'

et si les conditions ( i) sont remplies.

En posant, pour abréger,

on en déduit

dS = '/.ds.

lO HVKE PREMIER.

Considérons maintenant deux triangles infiniment petits formés par des éléments corespondanls, les côtés étant proportionnels, les angles sont égaux.

Pour montrer une application de ce théorème, considérons la fonction

Il =z ces z ;

les fonctions réelles

A = cos .r , Y = sin x ,

satisfont aux conditions (i), puisque la fonction u est monogène. Supposons que le point z se meuve parallèlement à l'axe des X, et ensuite parallèlement à Taxe desy, le point u décrira deux séries de lignes orthogonales ; ces lignes ont pour équations

eX -\- e-ry fer

ee sont des ellipses et des hyperboles homofocales.