CHAPITRE
PROPRIÉTÉS DES SÉRIES ORDONNÉES SUIVANT LES PUISSANCES ENTIÈRES ET CROISSANTES DE LA VARIABLE.
H. Lemme. — Lorsqu'on multiplie les termes d'une série convergente ayant tous ses termes positifs, respectivement par des nombres quelconques, mais qui n augmentent pas à Vinfini , on obtient une nouvelle série convergente.
Soit
une série convergente ayant tons ses termes positifs; si Ion multiplie les termes de cette série par les nombres
qui n'augmentent pas à riniini, on obtient une nouvelle série convergente
^U ^g-4- «i bi~i[- a~,bn-\- . . . .
I^ LIN UE ITiEMlER.
Eu effet, prenons m termes à partir du ternie de rang //, la somme
(7„ b„ -f- «„+, 6„+, ...-+- (In+m~\ bn+m-x
égale évidcmnieut la somme
multipliée par une moyenne entre les quantités
La série proposée étant convergente, la dernière somme a pour limite zéro, si grand que soit m , quand on fait augmenter n indéfiniment. D'autre part, les nombres par lesquels on multiplie, et par conséquent leur moyenne, conservent des valeurs finies ; donc la première somme a aussi pour limite zéro, et la seconde série est convergente.
12. Théorème 1. — Etant donnée une série ordonnée siiivafit les puissances entières et croissantes d'une variable imaginaire, 5/, pour une valeur fie la variable dont le module est R, les modules des termes de la série n augmentent pas à Vinfini, la série sera convergeîite pour toutes les valeurs de la variable dont le module est plus petit que R.
Soit
lia + llxZ -\- H . z- 4- . . .
la série proposée, dans laquelle z désigne la variable imaginaire, z/o , "i,..- des coefficients réels ou imaginaires. Appelons a^^a^^... les modules des coeflicients. Nous siqiposous que les modules
des différents termes de la série, pour une valeur de z dont le module est R, n'augmentent pas à l'infini. Donnons à la variable une valeur dont le module p soit plus petit que R, et considérons la série convergente
FONCTIONS DÉlIMEb l'Ai! DES SÉRIES, l3
si nous iuulti[)li"ins les lermcs de rcUo série respetlivenieiil |)ni' les nombres
(|ui ronservcnl des valeurs (iules, nous o})liendrons, en verlii tlu leniine précédent, une nouvelle série convergente
Ainsi, pour toute valeur de z ayant un module plus petit que R, la série des modules est convergente, et par consé- ([uent la série proposée elle-même (*).
13. Scolie. — Soit R le plus grand module de r, pour lequel les modules des termes de la série n'augmentent pas à l'infini; de Forigine comme centre, avec un rayon égal îi R, décrivons un cercle. D après le théorème précédent, la série est convergente pour toutes les valeurs de z situées dans lintéricur de ce cercle, que nous appellerons pour cette raison cercle (le convergence . Elle est divergente pour tous les points extérieurs; car si Ton donne à z une valeur ayant un module plus grand que R, les modules des termes augmentent à 1 infini. Sur la circonférence même la série peut être convergente en certains points, infinie ou indéterminée en d'autres.
Il importe de bien comprendre Texistence du cercle de convergence. Que Ton imagine des valeurs croissantes du module pour lesquelles les modules des termes conservent des valeurs linies. Ou ces valeurs croissantes tendent vers une limite finie et déterminée R, ou elles augmentent à l'infini. Dans le premier cas, la limite R est le rayon du cercle de convergence; dans le secoiid cas, la série est convergente dans toute retendue du plan.
Remarquons qu en chacun des points intérieurs au cercle, non-seulement la série proposée est convergente, mais encore la série des modules de ses différents termes.
V * ) Ce tlicorènic a été démontre d-une autre maniérp par M. Caucliy dans ses nouveaux Exercices, tome III, pajfo 388.
l/^ LIVRE PREMIER.
