Ap})liquons ;i qucKjuos exemples

La série

est convergente dans toute l'étendue du plan. La série

est convergente dans le cercle de rayon x. I>a série est encore convergente sur la circonférence limite, excepté au point <[ui correspond à Targumenl zéro ; en ce point la somme est infinie. 11 peut arriver c[ue, le point z s'éloignant du centre jusqu'à la circonférence, la somme de la série tende vers une valeur (inie , et que cependant eu ce point extrême la série soit indéterminée. Considérons , par exemple , la série

(onvergente dans le cercle de rayon i. Posons

cl, laissant rargumejit cori^itant, faisons croître le module o jusqu à l'unité. La somme de la série tend vers une valeur

finie et déterminée —•< excepté quand 6 =;o, et cependant

uour r; = e 'la série a une somme indétci minée.

Lorque le rayon du cercle de conveigence se réduit à zéro, la série n'est co]ivergente pour aucune valeur de la variable, excepté ponr ^ = o ; il en est ainsi de la série

15. TuÉOKiiME IL — Tliie série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de la. variable, est une Jonction continue dans Fintérieur du cercle de convergence.

Désignons par/'(") la soinnuMlc la sérir

FONCTIONS nÉFINIKS P \ Il DES SÉRIES. l5

que lions supposons couvergeiîte dans 1 intéricm du (Ciclc li. Appt'lons cp (2) la somme des // premiers termes de la série, cl 'p [z) le reste; nous aurons

DeTorigine eonime centre, avee nii ravon R' un pen plus petit que R, décrivons un cercle. On peut assigner une valeur de n telle, (jue, pour cette valeur et pour toutes les valeurs plus grandes, le module du reste ^ [z) soit constammeni plus petit qu une quantité très-petite donnée a, dans l'intérieur du «ercle R'. 11 suflil, pour cela, de prendre 11 tel , que l'on ail

ce (pii (Si possible, puisqu(! la série

Oo-i- n^R' -h. . .

est convergente. Pour tout module 0 plus petit que R', on aura, à plus forte raison ,

r.e module du reste '^ {z) étant plus petit (pie cette somme, sera lui-même moindre que a.

Supposons maintenant que nous donnions à la variable deux valeurs voisines z et z' comprises dans l'intérieur du cercle R', la fonction prendra les deux valeurs

dont la différence est

Le polynôme entier a> [z) étant une l'onction continue dr la variable s, nous pouvons prendre la dillérencc z' — z assez petite pour que la variation cp {z') — © {z) du polynôme ait un module plus petit que a. Mais les modules des restes-^ [z') et 'I (z) sont déjà plus petitsque «5 donc la variation /'(s') — f[z) aura un module plus petit «jue ?} x. Cette variation jiourra

l6 LIVRE PHEMIER .

donc èlre rendue plus petite ([u'une quantité donnée, si petite qu'elle soit. Ainsi la fonction , définie par la série, varie d'une manière continue dans l'intérieur du cercle de convergence. Il est évident, d'ailleurs, que cette fonction est monodrome dans le même cercle, puisqu'elle n'a qu'une valeur pour chaque valeur de z.

16. Théorème III. — Une série ordonnée suiuant les puissances entières et croissantes de la Dariahle est une fonction monogène dans Vintérieur du cercle de convergence.

Soit la série

convergente dans le cercle de rayon R. Nous allons démontrer d'abord que la série

//, + 2 «jZ + 3 «3 z' -f- . . . ,

obtenue en prenant la dérivée de chacun des termes, est convergente dans le même ceicle. Ue 1 origine couîme-TTentre, avec un rayon H' un peu plus petit que R, décrivons un cercle, et donnons à z une valeur dont le module o soit plus petit que R^'. Si Ion multiplie les termes de la série convergente

respectivement par les nombres

C/, , (I-, W , (i.Vl'- , . . .

qui n'augmcnient pas à l'infuii , on obtient une série convergente

(-;, + 2 c^j cj -\- 3 «T p" H- . . . .

Ainsi, la nouvelle série est convergente dans le môme cercle que la première.

La série proposée étant représentée par/ (^), nous représenterons pai'/' (^) 1^ sév'xe obtenue en prenant la dérivée de chacun des termes de la première, par/" [z) la série obtenue en prenant la dérivée de cliacun des termes de la seconde, et

roNCïlO.NS UKMMES I' \ Il DKS SKKUS. I-

ainsi de suilc. -I oviU-s ces séries soiii coiiv(;ri;eJite.s dans le ( crclt; de convergence R de la sch ic pro|)osce.

Nous allons démontrer, niainlciiaiit . (jue la sénc J ' [z) est la dérivée do la fonction /( :î).

Si Ton donne à la variable z un acci-oissenient A, on a

( I ) /(z H- //) = //., H- i(, {z ■+- /i) -h n,{z -h hy -h. • . .

Appelons p le module de z , /. celui de // ; la série

(a) r,„-hajp -{-A) ^a,{o-h/-y- +.. .

est convergente, tant que p-j-A esl plus petit que R, ou A plus petit que R — p. Développons les binômes et ordonnons par l'apport au\ puissances de A , di- manière à disposci- les termes dans l'onln* suivant :

i -f- (di + la. a + ôa^o- . . . ) H ■ • • . ) 1- . . . .

J.cs termes |)arliels delà série (2) étant tous positifs et avant une somme finie, la série (3), (jui se compose des mêmes cjuantités mises dans un autre ordre, est aussi (onvergenle, et otVre une somme égale. Oji obseive, en effet, que la somme des II premiers termes de la série (3) cou lient les 11 premiers termes de la série (2) , plus d'autres termes qui appariiennent aux termes suivants de la série (2), et (|ui , par conséquent, ont une somme infiniment petite pour les très-grandes valeurs de // ; CCS sommes des n premiers termes des deux séries , ayant unedillérencc infiniment petite, tendent vers la même lijuite.

En développant de même la série ( 1 ) , et ordonnant suivant les puissances cioissantcs de //, nous forir.oiis la série

<jui est aussi conNcrgenle, etqui a même somme que lasi'uie (1) \ car la différence entre la somme des a premiers termes de la série (4) et la somme de n piemiers termes de la série (1) , avant un module plus petit que la diiïërcnce des deux sommes

l8 LIMIE PUEMlEn.

fonespondamcs dans les séries (2) et (3), a pour limite zéro. On a done

on (Ml (lei

^duit

La série convergente, écrite dans le second membre, est une fonction continue de la variable h. Si // est très-petit, elle dilVèrc inliniment peu def[z), et, ([uand h tend vers zéro, elle a /' (z) pour limite. Donc

f(z + />)-/[z) hni ^ j^ ^ =:/' [z).

Ainsi la série/ (z) admet une dérivée unique/' (s) , quelle c[ui) soit la direction du déplacement h. Cette série est donc une fonction monogène.

17 . En résumant ce ([ui précède, on voit qu une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable est vnie fonction continue, monodrome et monogène, dans rinlérieur du cercle de convergence. En un mot, c'est une fonction syiieciifjiie i\ii\is le cercle de convergence.

Nous citerons comme exemples les séries

par lesquelles on défmit les trois fonctions

e-, sinz, cosz,

irès-usilées dans l'analyse. Le rayon du cercle de convergence (■tant infini, ces trois fonctions sont finies, continues, monodromes et monogènes, dans loute l'étendue du plan; ce

1 oxirONS i)r^;i iMKs l'.vn uf.s skriks. ic^

sont (les foiiclioiis sy/icc li(/iics dans luulc ["('Kiidiic du i>l.iii. 18. lue (lituhit; série

ordonnée siiivanl los puissances entières positives cl négatives, el se prolongeant à linlini des deux côtes, peut être considérée comme la réunion de deux séries ordiuaires

w„ -h itt z -\- u-.z'- -\- . . . , «i z"~' -4- «-__2 z"' + . . . .

Soient R le rayon de con\eri4ence de la première série, —

celui de la seconde quand on prend - pour variable. La première série est convergente dans le cercle de ravon R, la seconde pour toute la partie du plan extérieure au cercle de rayon R'. Donc, si R est plus grand que Vi , ia double série sera convergente dans la couronne comprise entre les cercles R' et R, et dans cette étendue elle représentera mie fonction synectique.

Par exemple, la double série