II 3 Z

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est convergente dans la couronne comprise entre les circoiderences de r.iyons i et 2.

La double série

est convergente dans toute l'étendue du plan, excepté au point

20 LIVUE l'T.EMIEn.

Cil APli Ri: HT.

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ORDONNÉES SlIVANT LES PUISSANCES CROISSANTES DE LA VARIABLE.

1.9. ^mij [z) une fonclion finie, continue, inonodromc et nionogène, e'est-à-diie une fonelion svneelique, dans une certaine portion du plan. Considérons les \a1cuisde linlégrale déiinie

quand on va du point ^o a" point Z par deux chemins, ^f, CZ et Zo DZ {fig. 4)5 Irès-rapprochés l'un de l'autre, et situés dans la partie du plan dont il s'agit. A chaque point m de la première courbe faisons correspondre un point n de la seconde Fi;y. '|. courbe , de manière (jue le point z^

se corresponde à lui-n^ème ainsi que le point Z; désignons par la lettre ri un déplacement infiniment petit sin lune des courbes, et par la lettre ô le déplacement de /// en }i. Si l'on va d'un point m de la première courbe à un point voisin m' de la même courbe, la fonclion éprouve un accroissement marqué par df [z). La fonction, éteint monodrome, prendra au point n la même valeur, quand on suivra le chemin ^o'"" a" lieu du chemin ^To D" ; il t^'u »'ésulte que la valeur de la fonction nv, \w\nl n dans la seconde intégrale diffère de la valeur de la fonction au point m dans la jireniière intégrale dune quantité égale à la variation de celle fonction correspondant au déplacement /////, variation marquée par J/ (2). D'autre part, la fonction étant monogène , c'est-à-dire admettant la même dérivée pour les deux déplacements mm' et mu , on a

i)i:\ Kl ()i'i'i:\ii:»x iiiis l■o.^cTI<J.^s K^ sékii;.s. ui

d\>à 1 on déduit

(i) ^/{z).(h = (If{z).3z.

Cela ])Osc', ( alculuiis la Nariallou de rintégrale déliiiic, ifiiand on rciiiplace le dieniiii Zo CZ par le chemin Infininienl voisin z„ DZ. On a

5 1 /iz)rh= I [Ô/(z).f/z-\-/{z).c/riz]l

»'n vorlu delà lelalion (i), eelle expression devient

I [clf{z).3z+f{z),diiz], OU, plus siinj)loin('iiL ,

' d[fiz)oz\ = \f[z);sz\'

Les deux points extrêmes étant tixcs, ÔZq csl nulle, ainsi que d7j\ donc la variation de rintégrale définie est nulle.

20. Considérons maintenant deux lignes quelconques allant d'un point à ini autre et comprenant entre elles nue portion finie du plan dans laciuelle la l'onction /'(s) reste Unie, eoniinue, mouodrome cl monogène , il est clair que ces lignes conduiront h la même valeur de 1 intégrale délinie; car on peut passer de l'une de ces lignes à l'autre par une série di' transformations ([ui îi'allèrent pas la valeur de l'intégrale délînie. Il en résulte que, si la fonction /(r) est synectique dans ' '^i ' la portion du plan comprise dans une

^ courbe fermée, rintégrale défuiie, obtc-

^'^ \ nue en parcourant ce contour, est nulle.

En etïet , l'intégrale le long de z^^ AZ i fig- 5) est la même que suivant Co BZ ; ^ ,--^ "" or, quand le point Z vient en z^ ^ cette

dernière intégrale est évidemment nulle.

De même, si la fouctiony (2) est synectique dans la portion du plan comprise entre les deux courbes fermées ABC, A'B'C/ {fig- Ci), les intégrales correspondantes à ces deux contours

-*■* LINUE PREMIER.

sont égales. En eiïel , le ch(unin A'B'CyV peut èire rcni- Fig. 6. placé par le chemin A'ABCAA' 5

mais les portions d'intégrale obtenues en parcourant la ligne A'A.

d'abord de A' en A, puis, à la fin, en sens contraire, sont évidemment égales et de signes contraires; donc les deux contours ABCA , A'B'C'A', donnent la même intégrale définie.

Ces théorèmes remarquables sont dus à M. Cauchy (* ) ; nous

en avons reproduit la démonstiation, afin de bien pi'éciserles

hypothèses sur lesquelles elle repose.

21 . Lorsque la fonction / (c) est synectique dans une certaine pni lion du plan , l'intégrale

/{z)dz.

calculée à partir d un point Zq et prise le long d'une courbe quelconque tracée dans cette partie du "plan , est aussi une fonction synectique dans la même étendue. On voit d'abord que la fonction est monodrome, puisque tous les chemins, qui vont du point ^o au point s, conduisent à la même valeur. Il est facile de démontrer qu'elle est aussi monogèiie. Désignons par F(^) cette fonction nouvelle; si nous donnons à la variable z un accroissement /? , la fonction éprouve l'accroissement

¥{z-hh)~¥{z}= / "" /{z]dz = \/iz)

la quanlité i s'annulanl a\ec //. On en déduit

') Cowiitrs iciidus de iAcndvniic des Sciences; 18,^6.

DÉVE1-01TL:MEJ>'T des IOINCTIOISS en SÉIllES. '-i.»

Ainsi !albn<tioii 1' [z] ;i iukî tlérivcc iiirKiuc / ( ") , (|ii(ll<' (juc soit la (lirfflioii du (I<'-|»I.i(oiirmiI ; c'est (loue une fonction nionogène.

2!2. Ia' développement en série n'offre plus aucune clillicullé.

Soit y (s) une fonction finie, continue, niono- (Iromc etniono}^ène,dans rintéiieuid'un cercle décrit (le l'origine comme centre avec un rayon R (,»• 7); j^' «^'is quelle est développable en série ordonnée suivant les puissances de z et convergenle dans le cercle

de rayon R. Soit t un point tixe pris à volonté dans l'intérieur

du cercle, la fonction

dans laquelle nous regardons 2 comme la variable, jouit des mêmes propriétés cjue la fonction J {z) dans l'intérieur du cercle R; elle est évidemment finie, continue, monodrome et monogène, comme la fonction y"( s ) . On pourrait craindre cependant qu'elle ne devint infinie pour la valeur ])articulière z =^ t qui anmdc le dénominateur^ pour éviter cet inconvénient, nous supposerons d'abord qu'au point / la dérivée J' [z) de la fonction proposée a une valeur finie; si l'on donne à z une valeur voisine de /, la fonction

difiérant très-peu de la quantité finie /'(/), aura clle-mènic une valeur finie et sera continue. Ainsi la fonction