I (IZ
remplacer la circonférence /• par une circonférence décrite dv« point / comme centre avec un i-ayon infiniment petit p. Posons,
le rayon o étant constant et 1 angle 0 seul variable, on u
riz -^—irlf);
l'intégrale devient On a donc
r)f:VKLOPPKMEAT DKS FONCTlOiVS K.\ SKI'.IES. UÎ)
cette (lerniéi-e intégrale ('tant prise sur la circonférence/-, et en toiiiiianl (le Ox vers Oy. Mais quand le point z parccnirl la eirconfércMice /•, le module de z reste constamment plus grand (jue le niodule de f ; on peut donc dévelop|)er la fraction
en une série convergente ordonnée suivant les puissances ( rolssantes de t, ce qui donne
Chacune des intégrales définies qui entrent dans le second membre, étant ])rise le long dun contour iini /•, a mse \aleui' finie et déterminée, et la foncliony(t) se trouve ainsi déveloj)pée en une série convergente oi'donnée suivant les puissances croissantes de l. En ap|)elani ?/o, l'i, u^-, • • • les coeflicients de la série, on a
(i) f{t) = iio-hii,t-h-u,t'-j-....
Si Ion pose
un coeflicient quelconque est donné par la fornuile
dans laquelle /'désigne un rayon ailjilraiic plus petit que le rayon R. du cen le de convergence.
23. Le point A est un point (pielconque intérieur au cercle de rayon R ; ainsi la série représente la fonction proposée /"(/) Cl! tous les points du cercle, excepté toutefois les points oii la dérivée /'(^) serait infinie ou disconlinue : juais celle restric-
26 LlVIiE rUEMIEU.
lion est inutile. En eilet, nous avons clémonlré (n" 15) (juune série, ordonnée eomniela série (i), est une fonclion continue de la variable / , dans Je eereie de convergence, sans exception -, la fonctioïi/(f) et la sérii-, étant continues dans toute retendue du cercle^ et égales en tous les points, excepté en certains points particuliers, ne peuvent difïérer même en ces points. Donc le développement s'applique à tous les points du cercle sans exception.
La fonction / [t) et la série étant égales, leurs dérivées sont égales, et Ton a
/' {e) = «, -t- 2 «2 ^ -h 3 II, t'-{-. . .
pour tous les points du cercle de convergence (n" 16).
On voit par là que la dérivée/' [t) de la fonction proposée reste finie et continue dans le cercle , et que, par conséquent, il est impossil)le qu'elle devienne infinie ou discontinue en aucun de ses points. Ainsi la circonstance que nous avons écartée dans la démonstration ne peut pas se présenter.
De ce qui précède résulte le beau théorème de M. Cauchy, que nous énoncerons de la manière suivante :
24. Théorème. — Pour qu une fonction soit, dêueloppable en une série ordonnée sui\'ant les puissances entières, positn^es et croissantes de la variable^ et convergente dans un cercle décrit de V origine comme centre , il est nécesscdre et il sujfit que la fonction soit synecliqiie, c'est-à-dire soit finie ^ continue^ nionodrome et nionogcne , dans ce même cercle.
Ces conditions sont nécessaires, car nous avons démontré (n" 17) ({u'une série, ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable , est une fonction synectique dans le cercle de convergence. Elles sont suffisantes; car nous venons de dénionti ei' que, loisqu'une fonction est synecticjue dans uii c<;r( le de rayon R, elle est développable en une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable et convergente dans le même ( ercle. 11 est d ailleius inqiDssible de les réduire à un moindre nombre; les explications qu(î nous avons don-
OKVELOPl'EMENT DKS 1- O-M.l IONS V.^ SKIUKS. 2y
Jiécs au ( oinniciiceniciil de (v ^Friiioirc font voir, en ellel, (|u'uiic foiitlioii peut èlJi' (inie et eoiitiiiiK; sans ètic iiioiiodromc, monotironie sans êlie inonoi;èiu'. on nioiiogène sans être monodiome.
23. Une fois établie la possibilité du dévcloppcineiit , il est laeile de déterminer les eoeflielenis. Reprenons, eu elïet , la série (i), dans laquelle nous remplaçons t par 2,
Lu ronclioii et la série étant égales daus le eerele Jl , leurs dérivées des difîérents ordres sont égales dans le nu^iue eeicle. On a donc
/' (2) = II, -t- 2 «j z = 3 u^ sV-r- . . . ,
Ces diverses séries sont toutes convergentes dans le cercle P> et continues ; si l'on v fait s = o , ou a
et l'on obtient ainsi la séiie de Maclaurin,
Nous avons exprimé les coefficients de la série de deu.\ manières, par des intégrales définies et au moyen des dérivées de la fonction. La comparaison des deux développements donne la formule
La série de Taylor s'eii déduit aisémenl ;
Si la jonction f[z) est synectiquc dans un cercle dccril auLour du poinL z,, coininv centre, elle se développe en une série ordonnée sui\'ant les puissa/ices croissantes de z — Zg
28 LlVllE PREMIEI! .
et cotn'eri^eiih' dans le ttiénie ceicle, et l'on a
En remplaçant z^ par z cl z — ^o p^'" ft -, on oi)lienl la série de Taylor sons sa forme habitnelle
et la formule (4) devient
(7) f"{^)=' "^"j/' I "f{z-i-,rO.)c->'OiM,
r étant un rayon arbitraire plus petit que le rayon du eci de de eonvergeiiee relatif au point z.
■ yi pplication a quelques exemp/cs.
2G. Soit nue fraction rationnelle
^Marquons les poiiils A, li, Cl, . . . <]ui aunuleut le dénominateur, et qui , par conséquent, rcndeut la fonction infinie. Soit A celui de ces points qui est le plus rapproché de l'origine; du point O comme centre, avec un rayon égal à OA, décrivons un cercle ; la fraction ralionnelle sera développable , dans ce cercle, en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de z. Dès que l'on sort du cercle, la séri(; est diveigente, car la fonction devient infinie au point A.
De même , si d'un point Zq , pris arbitrairement dans le plan y avec un rayon égal à la distance de ce point à celui des points A , B , C , . . . qui en est le plus rapproché , on décrit un cercle , la fonction sera développalde, dans ce cercle, en une séiie convergente, ordoimée suivani les puissances croissantes de
DlivKLOPl'F.MI'.W'J' UKS JO.NCl [OAS KN SÉIUKS. 9A)
^11. h;i (biictloii
f'Siii z
étant iinie, coiilimu', nionotliomc et monogène, clans toute l'étendue (lu plan, estdéveloppable en une séiie ordonnée suivaiil les puissances de s, et convergente dans toute l'étendue ilu plan.
La lonelioM
est discontinue ou indeleiininée pour 2; = i ^ car elle devieni infinie, ou nulle, ou indélei minée au])oint ^ == i , suivant le ciiemin <pi'on suit ])Our y arriver; elle est donc développable dans le cercle de rayon i. Il en est de même de la fonction
qui devient indélcrniinée an point z = 1 28. Soit la loiution irrationnelKî
compiée à partir de .3 = o , avec la valeui' initiale -h i. Nous avons vu (n" 3) que cette fonction cesse d'être monodrome quand on tourne autour du point z =. — i ; elle sera donc développable eu une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de 2. dans le cercle décrit de l'origine comme centre, avec u.n rayon égal à Tunité. Il en sera de même d'une fonction implicite u délînie par une équation algébrique entre 11 et z et comptée à partir du point z avec la valeur initiale//q (n" 4). Si du point Zq coiunie centre, avec un rayon égal à la dislance au point le plus proche pour lequel l'équation a des racines égales et la fonction cesse d'être monodrome, on décrit un cercle, la fonction sera développable dans ce ceicle en une série convergente ordonnée suivant les puissaïues croissantes de z — Zq.
jO LIVRE PllEMIFi;.
La foiuilun iraiisrendaiilf
log (i -+-z),
comptée à parlir de z = u. avec la valeui' ijiillale zéro (n*'5) devient infinie , et cesse d'être nionodi orne , an point z = — i ; elle sera donc déveîoppable en nne série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes des, dans le cercle décrit de l'origine comme ceiitre, avec un rayon égal à Funité. lia fonction
u z=z ,r-' H- y- 4- ■?. .vyi ,
n'étant pas monogène, n'est pas déveîoppable.
"29. Consi<lérons enfin la fonction
Il ^ sin z 4- A (.»'- + Y' — I ),
dans laquelle la lettre A représente la valeur de l'inlégrole définie
2 / " sin/
ce
dt.
oblenue en donnant à / des valeurs réelles de o à tvD On sait cjue lintégralc définie
sin t
cos s;t dt
est cijnstamment égale à 1 unité quand le nombre g' est moindre que I , et qu'elle est constamment nulle quand le nombre ^ est plus grand que j. De l'origine comme centre , avec un rayon égal à limité, décrivons un cercle; le facteur À sera nul tant (lue le point z restera dans le cercle, et il deviendra égal à l'unité pour tous les points extérieurs. La fonction est finie, continue et monodrome, dans toute l'étendue du plan ; elle est monogène dans le cercle de rayon i , puisque la seconde partie se réduit à zéro dans lintérieur du cercle; mais, hors du cercle, elle nesi plus monogèiie, parce que la seconde partie (2 | ^ 2 — j „\.,ii pa;, monogèue. On en (onclutquela fonction
uévelopi'i;me>'j ors ioactioas k.\ si^ries. ii
est développable en série eoiivergciitc dans le < erele de rayon égal à l'unité.
Les exemples précédents montrent que la limite de convergence delà série est déterminée, tantôt parce que la fonction devient infinie ou discontinue, tantôt parce qu'elle cesse dêlre monodrome, tantôt paice quelle cesse d'être monogène.
30. Théorème II. — Lorsquiine fonction est synectiquc. flans la portion du plan comprise entre deux cercles ayant pour cetitre l'origine des coordonnées, elle est développable en une double série ordonnée suivant les puissances entières, positii'cs et négatives, de In variable, et convergente dans cette portion du. plan.
JVous supposons la fonction /(::) synectiquc dans la portion Fig. 8. du plan comprise entre
les deux circonférences R et R' décrites de l'origine fomme centre, R étant plus grand que R'.
Soit t un point quelcon([uede cette couronne [Jig. 8); du point O comme centre décrivons deux cercles, l'un avec un rayon /• plus petit que R, mais plus grand ((ucO/, l'autre avec un rayon /•'plus petit que O/, mais j)lus giaïul (fuc R'. I/intéijrale
clz,
obtenue en parcourant chacune des deux circonlérences dans le même sens, a la même valeur. En distinguant par les indices r et /•' ces deux intégrales délinies , on a
\n^)-fit]
Li\ni: PUKMirr.
m"'-^i"m-m^'--'^£éy
Mais / — = o^ car la circonférence /■' ne comprend pas le
point z=. l qui rend infinie la fonction placée sons le signe /. On sait (1 ailleurs que
ésulte
Dans la première intégrale, le module de z étant plus grand
(jiie celui t\ct. la quantité peut ètie développée en une
série convergente suivant les puissances positives croissantes de-- Dans la seconde, au conlraire, le module de z étant pins
petiî que celui de /, la quantité se développera en une sé-
lie convergente suivajit les Muissances <i'oissanles de -•
On aura donc
dz
I +^-' f/{z)dz-^t-^ ^f[z)zdz... I
Les ialégrales définies, qui servent de coefficients à la double série, ont des valeurs finies et déterminées. On peut les prendre le long d'une circonférence aibitraire comprise entre les circonférences K et IV, et eu tournant de droite à gauche. Si Ton pose z = /e , et si l'on rempiaie t par 2, on a la double série
\f[z) =: II, y -\- UiZ -\- U.Z''- -\- ■ ■
