II-, 3~' -+■ II. ,-2 Z

lJÉVEL(tPPKME>T UES FONCTIONS EJV SÉIUKS. .V.)

clans laquelle

II,, = — / /{rc Ot)e-nOi fia^

Cette extension du lliéorème de M, Cauchy a été indiquée parle capitaine Laurent.

31 . Il est facile d étendre les théorèmes précédents aux fonctions de plusieurs varialdes indépendantes. Son f [x ^ j ^ z) une fonction de trois variables imaginaires x, y, z^ finie, continue, monodrorne et monogène, quand chacune des variables reste comprise dans une certaine portion du plan. Donnons à x,y^ z des accroissements /i,A, /; la fonction /(x-h A, j) -h A , z-\-l) est finie, continue, mouodrome et monogène, tant que les variables h, k^ l restent comprises respectivement dans des cercles de rayons R, R', R". décrits des points .r,j', z comme centres.

Posons

1/ = X -^ t/i , i' ::=z j" -\~ tk , («'=:; -f- // ,

t désignant une variable dont le module est plus petit que Tunité. La fonction /"(u, k>, w) est une fonction svnectique de /, quand la variable t se meut daiis le cercle de rayon t, décrit de rorigine comme centre; elle est donc développable, dans cette étendue, en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de f, et Ton a, en désignant par F(/) cette fonction,

F(0 = Ffol + F' (ol--f-F"(o h

Mais on a symboliquement

F" (0 = (/'D„/4- /! 0,,/+ / D„,/)% d où

Si l'on remplace F" (o) par sa valeur et que I on tasse f = i ,

34 LIVRE Pr.EMIEll.

on obtient la série

ordonnée suivant les puissances croissantes de A, h^l, et convergeiite dans les cercles de rayons R, R', R".

Les coefficients s'expriment aisément au moyen d'intégrales définies. En elVet, si dans la formule (y)

n" cp (.r) = " ' ' ' ' / ? ( -î-' -4- ''f'^' ) '" "~ "^' ff^J 1

on faii

,s{x) z= D'^ •}(.r, v), on a

xi 1 J> (.r -j- ;e^' , r + ^ (^''' ' ) t'— "'"■ — "'6 '(10 dO'.

Celle-ci donne pareillement

DN-t-H-l-n" /•/ ,