CHAPITRE IV

PnOPRîÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS.

32.*Théorème I. — Lorsqii une fonclioji est synectique dans une certaine portion du plan, toutes ses dérivées sont aussi des fondions synectiques dans la même étendue.

Soit Z(i un point quelconque pris dans cette portion du plan , nous avons démontré que la fonction ))roposée/"(7) se déve-

l'UOPUiÉTils (.;i';Nr;i'. Ai.iis ors FO.\cn io>s. 3")

loppc en une série eouveigeiile

f{z) = «„H- M, (2 2„) -4- «2 (2— Zj, '--(-.. .

dans un cercle décrit du point Zf, comme rentre avec un rayon convenable. On en déduit

/' (z) = M, -f- ?. Ih (2 — Z„) 4- 3 «, (2 — 2„)= +

Cette série étant convergente dans le même cercle, la fonction/^'(n) est synectique dans ce cercle; et, comme le point ^0 peut être pris arbitrairement dans la j)orlion du plan pour laquelle la foncliony(z) est synectique, la fonction j ' [z) jouit de la même propriété dans toute cette étendue.

Le théorème étant démontré pour la première dérivée, s éleiid évidemment à toutes les autres.

33. Corollaire J. — Une fonction synectique ne peut être constante fîans une portion finie du plan, si petite quelle soit.

Soit 2o vin point situé dans celte portion du plan; la fonction étant constante dans le voisinage du point 2o? toutes ses dérivées sont nulles en ce point , et la série de Tavlor se réduit à

Il en résidte que la fonction est constante dans le cercle de convergence décrit du point z^ comme centre. Que Ion répète le même raisonnement pour un autre point du cercle, et Ion démontrera ainsi de proche en proche que la fonction reste constante dans toute l'étendue du plan pour laquelle la fonction est synectique.

Il en serait de même si la fonction était constante le loiiij d'une ligne, si petite quelle soit.

Corollaire II. — V ne Jonction synectique ne peut avoir toutes ses dérivées nulles en un point .

Si cela avait lieu, la fonction serait une constante.

34. Théorème II. — Lorsqu une fonction synectique dans une certaine portion du plan s'annule poui' une valeur z = a

36 LIVRK PREMIER.

eori'.prise dans cette portion du plan, elle est divisible par (2 — a)", " désignant un nombre entier fini.

En développant, d'après la série de Taylor, on a en e(Tet

doù Ton déduit

f[z\, Le quotient - — '—•> éianl développé en série convererente dans ^ z — a ^ ^

un cercle décrit du point a comme centre, est une fonction

svnectique dans le voisinage du point /i, et par conséquent dans

la même étendue du plan que la fonction proposée; Si l'on

représente par 9(2) celte fonction, on aura

Si la (juantité a n'annule pas f (z), on dit que n est racine simple de ré([nation y (s) = o. Mais si a annule la fonction j {z) et :?es [n — i) premières dérivées, on a

ei le quotient

est une fonction syneciique dans la même étendue que la fonciion/'(z). Si l'on représente ce quotient par cp (2), on a

/(z)=(z«)«cp(z).

Dans ce cas, on dit cjue !a racine a est du degré // de multi- Y)li<ité.

Le nombre des dérivées qui sannulenl pour z — a étant nécessairement iini, toute racine est d'un degré fini et entier de multiplicité.

35. Scolie. — Dans une portion finie du plan, l'équation y' (3) = o n'admet qu'un nombre fini de racines; car, si

l'ItOl'IUKTÉS GÉNÉRALES DES KO«f.TIO-\5. Jj

L']le 011 adniellail une inliuitc, les poiiils ((ni ( orrcsiioiidcuL aii\ racines seraient infiniment rapprochés les uns des autres é-i la ionction nulle en ces points intlnimenl iap[)rochés, ce (|ui est impossible.

Si Ion appelle «, ^,c,...,/ les racines, la fonction ^^ (z) s'écrira

36. Théorème 111. — Quand une fonction J {z), nionodronie et vionogène^ devient injïnie pour z ^^ a, quel que soil le chemin suivi pour arriver à ce points on peut la mettre sous la forme

la fonction ^ (s) étant nionodroine et monogène et ne devenant pas infinie pour z ■■= a.

En eftet, dans ce cas, la fonction devenant nulle pour

z = rt, et restant finie et continue, on a

d'où Ton déduit

^ - (z — a)" {z— Cl;'

La valeur a est un infini du degré fini et entier // de niulliplicilé.

Si 1 on dévelop])e la fonction ^ (z) en série sui\ani les puissauces croissantes de (z — «), la fonction proposée s'écrit

ij> (z) désignant une fonction monodrome et monogène qui ne devient plus infinie pnni z = a.

.58 LIVUE PREMIER.

Pour que la fonction jouisse de ces propriétés, il est nécessaire qu'elle devienne infinie pour z = «, quel que soit le chemin suivi pour arriver en ce point. Ceci n'a pas lieu pour la

ibnclion e\ qui, lorsque 2 =: o, devient nulle, ou infinie, ou indéterminée, suivant le chemin suivi.

37. Théorème IV. — Une fo?iction^ nionodrotne et monogène dans toute V étendue du plan, deinent nécessairement infinie pour une valeur jinie ou infinie de la variable.

Appelons M le maximum du module de la fonction /^(z) dans le cercle de rayon /• décrit autour de l'origine ; si dans la formule (n"!2o)

nous remplaçons chaque élément de 1 intégrale définie par soiî module, ou par un module plus grand M/70, il est évident que

le module de l'intégrale définie sera moindre que / MJO

Jo ou que 2 7: M, et nous auroîis

inod f" ( 0 ) <^ 1.2.3, . n —

Supposons maintenant que la fonction^ [z) ne devienne infinie pour aucunevaleur finie ou iniinie de s. c'est-à-diie que le module de la fonction reste moindre qu'une quantité finie M dans toute l'étendue du plan. Dans ce cas, on pourrait prendre le rayon /■ infiniment grand, et 1 on aurait, en vertu de la

formule précédente,

La fonction, avant toutes ses dérivées nulles, serait une constante. Si donc la fonction n'est pas une constante, elle doit devenir iniinie, soit pour une valeur finie, soit ])our une valeur infinie, de la \ariable z.

38. Corollaire I. — Une Jonction^ nionodrotne el monogène dans toute V étendue du plan, devient nécessainnicnt nulle pour un<: valeur fi ni<' ou Infinie de la rarinldc

l'UOlMUÉTÉS GliftÉllALES OES 1 OJNCTIO.'NS. 3t)

Car si la ibncliou / (s) ne tlcvenait pas nulle, la fonc

lion ne devifudrail |)as infinie ; ec qui est impossible.

Il peul arriver que la même valeur de z rende une fonction à

la lois nulle elinlinic. Ainsi la fonction e" devient infinie quand le point z vient à rorigine par un chemin situé à droite de l'axe des}'', et nulle quand le point z vient à Toriyine par un chemin situé à gauche de l'axe des y. De même la fonction e' devient nulle ou infinie pour des valeui-s itifînics de z.

Corollaire II. — Une fonction^ monodrome et tnonogène (tans toute Pétendue du plan, acquiert toutes les valeurs possibles.

La fonction y" (z) acquiert nécessairement la a aleur A , car la fonction J{') — A prend la valeur zéro.

39. Théorème Y. — Deux fonctions monodromes et monogènes^ qui admettent les mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré de multiplicité, sont égales^ à un facteur constant près.

Soienty(z) etF(z) les deux fonctions proposées. Le quotient

de ces deux fonctions, ne devenant ni nul, ni infini, est une constante. En désignant par A cette constante, on a

Y[z) = kf{z).

Scolie. — 11 résulte de là qu'une fonction est complètement définie, à un facteur constant près, quand on connaît ses zéros et ses infinis. C'est par le nombre et la distribution des zéros et des infinis dans le plan que les fonctions se distinguent les unes des autres.

40. Théorème M. — Toute Jonction monodrome et monogène, qui ne devient injinie que pour s =:= oc , sans des^'cnn indéterminée, est une fonction entière.

Soit u=^J [z] la fonction pioposéc. Posons 2:z= -: la fonc-

4o LIVRE l'REMIEH.

tion s'écrit a = J (-) : nous rappellerons cp (/). Cette fonction îp [t.) devient infinie pour ^ = o, sans devenir indélerniinée. En vertu du tliéorème III, on peut la mettre sous la forme

La fonction ^ (f), ne devenant infinie pour aucune valeur de^, est une constante A„. On a donc

et. par suite.

f(z) = Ao z" -+- A, z"-' -t- . . . + A„i z -+- A„. Ainsi la fonction f [z) est une fonction entière du /i'^""' degré,

•41 . Théorème VII. — Toute fonction monodronie et monogène, qui n admet qu'un nombre limité d'infinis, est une fraction rationnelle.

Considérons d'abord le cas où la fonction y^( z) admet n infinis simples a, h, c. . . . , /, et prend une valeur finie et déterminée P pour z = ce .

La fonction, devenant infinie pour z = aj s écrira sous la forme

la fonction cp(s) ne devenant plus infinie pour z=^a. La (onction "f{z)^ devenant infinie poui- z = h. s écrira sous la forme

En continuant de celte manière, on arrivera enfin à une fonction (jui n'aura plus d'infini, et ([ui, par conséquent, sera une constante P. On auj a donc

La déinonslialion rsi la nicmc r|uatMl il v a des infinie mul-

rUOPI'.lÉTÉS GÉNÉIlALKS DES I- ONCTIOINS . 4^

liples. Soil }) \v di'gié de liiiliiii (i, (/ ( xlui de b, de. La loiielioii proposée pourra êli'e mise sous la ibiine

La fonction 9 (z), ne devenant plus infinie que pour z r= ce , est une fonction entière.

En réduisant ces fractions simples au même dénominaleur, on voit que la fonclion u esl une fraction rationnelle dont le terme le plus élevé est du degré ti, si n désigne le nombre total des infinis. A chaque valeur de u correspondent n valeurs de z, c'est-à-dire que la fonction prend la même valeur en n points du plan. Cette fonclion admet aussi n zéros. Ainsi le nombre des zéros est le même que celui des infinis.

42. Théorème VIII. — Toute jonction nionogène. qui admet m valeurs pour chaque valeur de z, devient nécessairement infinie.

Désignons par z/o? "n "a---- ",,,-1 les m valeui's que piend la fonction u pour une même valeur de z. Considérons une fonction symétrique de ces m quantités, par exemple leur somme

H„ -h M, -V- «2 4- ... 4- llm-\-

Quand la variable z décrit un contour fermé, ces valeurs de la fonction se permutent les unes dans les autres suivant une certaine loi; mais la fonction symétrique ne change pas. Cette fonction symétrique est donc monodrome. Puisqu'elle doit devenir infinie, il faut que Lun des termes de la somme de- V ienne infini.

13. TnÉorii^ME IX. — Toute Jonction ntonogcne. qui a m valeurs poui- chaque valeur de z el qui n'admet qu'un nomhn: liniilc d'infinis, est racinr. d'une rqurition a/ij^éhnque.

4?- LIVRE PREMIEU.

Représentons toujours paruo, », , «2,..., «,„, les m valeurs de //, et coîisidérons les l'onctionr. symétriques

savoir, la somme des m valeurs, la somme des produits deux a deux, la somme des produits trois à trois, etc., enfin le produit des m valeurs. Chacune de ces fonctions symétriques , étant mouodrome et n'ayant qu'un nombre limité d'infiniS;, est une fraction rationnelle en z. La fonction a satisfait donc à une équation algébrique du degré m, dont les coefficients sont des fractions rationnelles en z.

Celle équation est irréductible; car si la fonction u satisfaisait à une équation de degré moindre, elle n'aurait pas m valeurs.

Corollaire. — Une Jonction définie par une équation algébrique irréductible du vi"'""' degré prend ni 7>aleurs pour chaque valeur de la variable.

On part de la valeur z = Z(, avec une certaine valeur initiale u=t/o,et Ion suit, pour aller à un point quelconque du plan, soit le chemin rectiligne, soit des lignes comprenant uu ou plusieurs points pour lesquels Téquation a des racines égales. Ces chemins donneront m valeurs différentes de la fonction; car, si la fonction n'en prenait qu'un nombre moindre, elle satisferait à une équation de degré inférieur.

DKS FONCTIOiNS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES.