CHAPITRE PrxEMIER

MÉTIIOUK GÉrsÉRALE l'Oll! l' ÉTUDE DES FONCHONS DÉIINIES PAR LES ÉQUATIOAS DIFFÉREINTIELLES.

•44. Les cas où l'on peut intégrer une équation dlllérentielle sont extrèmenient rares, et doivent être regardés comme des exceptions. Mais on peut considérer une équation dillérentielle comme définissant une fonclion d'après son mode de génération, et se proposer d'étudier les propriétés de cette fonction sur l'équation dlllérentielle elle-même. 8i)il

du <iz

une équation dillerentielle du premier ordre \ u sera une fonction de z, définie par la condition de satisfaire à l'équation difl'érenticlle el d'admettre une valeur initiale donnée «o pour z = z^. M. Caucliy a démontré que si le coeflicient ditierentieiy(M, z) est une fonction synectique pour les valeurs de u et de z voisines de </o et de Zq? 1^ fonction intégrale u est eHe-mème synectique pour les valeurs de z voisines de z,,. Nous donnons d'abord une démonstration plus simple de ce théorème de l'illustre géomètre . (jui est notr<> point de départ.

15. Leniinc I. — Solty(:r) une l'onction svMccli((ue de la v,Tilabl(^ im.ii^lnalrp r, dans Kvcpk le décrit du iioini »„ i oDiiUf-'

44 LlVRli II.

centre aver un iciyon r, et sur la circonférence elle-même. Appelons M le maximum du module de la fonction f [jc) dans le cercle de rayon /•. Si, dans la formule (n" 25)

f'{x,)~ '•^•- • ''!, / "^ f(x,-^re(J')e-nOicn,

on remplace chaque élément de l'intégrale définie par la quantité M <:/6 plus grande que son module, on augmente évidemment le module de l'intégrale définie cjiii se réduit alors à a ttM , et l'on a

M ( I ) mod/" (.r,,) -< 1 . 2 . . . « — •

46. Lenirne II. — Soit / (x, }', z) une fonction syueclique par rapport à chacune des variables imaginaires x\ j, z , quand ces variables restent comprises respectivement dans des cercles de rayons /', a', /" décrits des points .Tq , j^o i Zq comme centres , et svir les circonférences elles-mêmes. Appelons de même M le maximum du module de la fonction dans l'étendue des valeurs considérées. Si, dans la formule (11° 31)

on remplace chaque élément de l'intégride multiple par une quantité M c/ôr-Zô'*^/ 6" plus grande que son module, on augmente le module de l'intégrale, et l'on a