I . 2 ... « . I . 2 ... rt . I
et les résultats fournis par les autres termes s'évanouissent. On a donc
Ainsi, en Xq-, Jo, -Zq, les dérivées de la fonction © sont des limites supérieures des modules des dérivées de la fonction f. Les principes, que nous venons de rappeler, sont dus à M. Caucliy. Aous allons, à l'aide de ces principes, démontrer d'une manière très-simple l'existence des fonctions intégrales.
48, Considérons d'abord une équation différentielle
(4) tI""-^^^"'"^'
la variable " part du point z = 2o- la fonction u ayant une certaine \ aleur initiale u = »o. jNous supposons que le coefficient di(ïérenticl f{z.. u) est une fonction synerlique des
4G LIVRE n.
deux variables z et n dans le voisinage des valeurs z,^ et ?/f,.
Pour simplifier, représenlons les variables par Zo-\- z et ^/p -t- // -, la variable z partira alors de z=o, la fonction u ayant la valeur initiale u = o. Le coefficient ditréreniiel est synectique pour toutes les valeurs de z et de u situées dans des cercles décrits des points z^^ et u^ pris pour origine avec des rayons égaux à p et à /■ et sur les circonférences ellesmêmes. Nous appellerons M le maximum du module de la fonction y^ dans cette étendue.
Si léquation ditférentielle admet une intégrale synectique, on obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations
cP u d f il f du ( 5 ) '' r/z- dz du dz
d'à d'f d'-f du d'-fiduV d/d' u
dz^ dz'' dz du. dz d/r \ dz / du dz''
que r<»n déduit de la première par la dillérentiation.
Imaginons que, dans les seconds membres, on remplace les valeurs de la fonction^ et de ses dérivées partielles pour ^ = o et « = o par leurs modules ; la première donnera le module de
(-—1 : en portant cette valeur dans la seconde, on aura une
\dzl„
limite supérieure du module de ( -ry ) • en portant ces valeurs
dans la troisième, on aura une limite supérieure du module de d'u'
, ; et ainsi de suite.
dz'
En vertu du lemmc III, les dérivées partielles de la fonction/"(s, u) ont, pour s = o et ii = o, des valeurs dont les modules sont moindres que les dérivées correspondantes de la fonction
FONCTIONS DÉFÎMES l'Ali DKS I.QtATCONS UIFFltRE.NTF ELLF.S . 4/
(Ion sidérons réqualioii dilU'Mciilifllc dv INI
(6) -z=tp(2, ..) =
dans laquelle nous donnons à la foiiriion v la valeur initiale i' = () pour 3 = o. Si cette nouvelle équation admet une intégrale syneclique, on obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations
dv Jz
;r: cp (z
d'v dz-"
d(f '^'dz
d ^ dv dv dz
d'rf
~ Vlz'
d^ fs>
dz dv
dv
dz-^
r/^ o / dv \ ' r/ cp r/^ v Jv' [dz
dv- \ dz j dv dz'
analogues aux équations (5). Quand on y fait z=: o et *> = o. la fonction ç) et ses dérivées partielles prenaiit toutes des valeurs positives, les seconds membres sont des sommes de termes
positifs, et l'on en déduit successivement pour ( — ) > ( — ; ) •>
I ^ I 1- • •') des valeurs positives. Ainsi la fonction p- a pour
z = G toutes ses dérivées réelles et positives.
Comparons maintenant les équations (5) et (j). On voit
d'abord que le module de ( — j est moindre que ( — ) • Les
modules des termes de la seconde équation étant moindres que
les termes de Téquation correspondante, le module de ( '— ^ )
est moindre que ( -ji ) 5 et ainsi de suite. On conclut de là que,
si les fonctions u et v existent, les dérivées de la première ont, pour z = o, des valeurs dont les modules sont respectivement moindres que les dérivées de la seconde.
Mais la fonction \> existe certainement : car l'équation dif-
48 LIVRE If.
férenlielle (6) peut ètic iiilÔ£;rée ffuileiuent , et donne pour équation intégrale
i^ s'évanouissaut avec z. Cette équation définit une fonction implicite u s'évanouissant avec z, et restant synectique pour toutes les valeurs de la variable z inférieures ou égales à un certain module R que Ion peut assigner. En effet, la fonction u reste monodrome jusqu'au point où les deux racines de réquation (8) deviennent égales entre elles; ceci a
lieu lorsque la dérivée i du premier membre par rapport
à t^' devient nulle, c'est-à-dire lorsque r= /• ; la valeur correspondante R de z. valeur réelle, positive et moindre quey, est donnée par la formule
p) 2Mp'
Si Ton appelle A le maximum du module de la fonction i> dans le cercle de layonR, on aura, d'après le lemme 1,
On aura donc, à plus forte raison,
\ dz" I „ R"
Il en résulte que la série
/ du \ z { d- Il \ z-
ordonnée suivant les puissances croissantes de z, est convergente pour tontes les valeurs des ayant leurs modules inférieurs à R. Car, le terme généial de la série ayant un module moindre
que
niod z\"
lOlNCTIOKS l)i:i"lKIE.S l'AK DKS K^lAllOWS UIFFÉKKJNTIthl.ES. 49
on voit que bi le module de z est inférieur à R, la série des modules est convergente, et par conséquent la série proposée. Celte série convergente définit une fonction svncclique dans le cercle de rav<»n R .
11 reste à faiie voir (|ne la fonction //, définie par la série, satisfait bien à l'équation dillerentielle proposée (4). Si dans cette équation on remplace ii par sa valeur, on a, d'une part.
du / du \ f d'^ ii\ z j d'' it\ z-
Tz^\-dz):'-\-d^).'i^\-d^)—.-^----^
d'antre part,
en appelant /',y,.. ., les déiivées totales de la fonction J calculées au moyen des équations
dz du dz
dz'^ dz du dz du"^ \ dz I du dz'
On fera dans ces équations z=ro, 11 = 0, et Ton remplacera
{ — ]', ( — -\ v> par leurs valeuis déduites des équations (5). \ dz / „ \ dz'' I n
Mais on voit que les seconds membres des équations (5) et (10)
sont alors identiquement les mêmes: on a donc
et, par suite, Téqualion dinérciitielle est vérifiée.
49. La même méthode s'applique aux équations diflérenlielles simultanées. vSoient /;/ équations simultanées
du ^, , , <lu' , .
dans lesquelles nous supposerons que la variable z parle dt; z = o, les fonctions //, u.... avant les valeurs initiales /,éro.
Les coefficients différentiels sont des fonctions synecticjues par rapport aux variables z,u, u',.-, tant que les modules de ces variables restent inférieurs ou égaux à o, /', r', — Appelons ]M, M,,..., les raaxima (]es modules des fonctions f, f\i'-dans cette étendue, et posons
En vertu du lemme III, les dérivées partielles des fonctions f\J\,... ont, pour r = o, </== o,..., des valeurs dont les modules sont respectivement moindr<'s que les dérivées correspondantes des fonctions M^, IVI19, — Si l'on compare les équations différentielles pro])Osées aux équations diiïérenlielles simultanées,
(/v , , dv' , , K '
— r= M<}) l'z, t-, (' , . .1, --= M, cp ^ 3, «',»',...),••• ^
ctz (iz
on verni, comme précédennnent , que les dérivées ( -^ ) ■>
(du'\ ( d' u \ l d' u'\ l'i • 1
— 1 , . . . , I , 1 • ■ •) déduites des premières par
\ dz /„ \ dz' I „ \ dz' I „
nii calcul de proche en proche, ont des modules respectivement moindres cpie les (pianlités réelles et positives ( -r ) '
( L \ , • • • , ( — 1 1 ( — — 1 •,•■••> nue l'on déduit des secondes \dzj, \dz^ Jo \^l^' /o *
par un calcul analogue.
Mais ces dernières équations j)envent être intégrées fa( ile-
ment -, on a d'abord
dv __ dv'
i^ ~ M^ "" ■ ■ ■ ' d'où
si l'on porif! les valiursde c, w',..., dans Iiiih! d'elles, il vient 1\1 .\ / I\I, . \ .. dz
KOKCTIOAS Ill.l IMKS l'AU l>r.S ÉOLATIUAS OflIltRK.MI E l.l.KS 5 I
OU en déduit, par rintégraliou,
Celle équai'iDii délîuil une ioiiclion /> s évanouissant avec z et resiant syneelique jusqu'à un ceriain module R. Si l'on appelle Aie uiaxiinuni du module do la foiu lion A dans cette étendue, on a
riz"j„ ^ R"
On aura donc, à [)lus forte raison,
, fd" n\ ^ MA mon — — <i i .1. . .n . ,
\ clz" y „ ^ R"
\ dz" / „ R"
11 en résulte (|ue les séries
\ dz ' 0 I \ rfz- / 0 I
( du'\ z . d'u'\ z''
sont convergentes pour toutes les valeurs de z dont le module est moindre que 11. Ces séries définissent des fonctions synectiques dans le cercle de rayon R, et satisfaisant aux équations différentielles proposées.
11 est facile d'évaluer le rayon de convergence R. La fonction /, s'évanouissant avec z, reste monodrorae jusqu'à ce (juc deux racines de l'équation (i3) deviennent égales entre elles. Ceci a lieu lorsque la dérivée du premier membre de l'équation (i3) par rapport à t^, ou le premier membre de l'équation (12), devient égal à zéio; les valeurs de A. qui annulent
ct'lie dérivée, sont —5 rr-? • • • ^ ou portera la plus pelile de ces MM, ^ ^ ^
valeurs dans réquaiioii (i3), et Ton en déduira la valeur correspondante R, réelle et positive, de z.
On arrive à une formule très-simple en remplaçant, ce cjui est permis, les modules r, r',..., par le plus petit d'entre eux, et les maximalM, Mj,..., par le plus grand d'entre eux ; léf|uation (ta) pi"end alors la forme
d'où l'on déduit, par linlégration,
J.a fonction h reste monodrome jusqu'à une valeur R de :: donnée par la formule
Les limites de convergence données pai- notre méthode sont plus étendues (jue celles qui oui été irouvées par M. Cauchy. C'est un avaiilage dans remploi des séries pour l'intégration.
Nous pouvons maintenant énoncer le ihéorèmc suivant ;
Théorème I. — Vn système fTcquations différentielles simultanées admet^ pour intégrales^ des fonctions synectiques, tant que les coefficients différentiels restent eux-mêmes synectiques.
