jNous avons démontré que l'équation dilTérentielIe

-T- =./('/, z) admet une intégrale synecti([ue. Il n'existo'pas

d'autre fonction satisfaisant à l'équation ditrérentielle proposée, et devenant égale à //^, pour z=^z^^. Soit u l'intégrale synectique, et supposons qu'il existe une seconde intégrale que nous représenterons par ?/ 4- «', la fonction r s'évanonissant

roNCïiOJNS uÉnMi:s i'Ar i)i:s kouations uiri éueatiellks. 53 pour z ^= z^ ^ nous auruus

— =f{a -ht', 3) — f[u,z

Puisque le second membre s'annule pour v- =: o, il cunlienl une puissance entière de v en facteur, et Ton a

en supposant que dans le cjuotient on ait remplacé u et c par leurs valeurs en fonction de z. L'intégration le long d'une courbe cpu'lcoiu]ue donne

3 i dz.

L'intégraledéfinie ayant une valeur (inie et i^^ devant ètie nulle, cette égalité est impossible. Quand /?î = i, l'équation dilîéreutielle devient

•f\z)dz

Puisque ^'^ = o, la fonction v est identiquement nulle.

Ainsi l'équation difïéientielle proposée n admet pas d intégrale, prenant la valeur //„ pour z r= z^,, autre que l'intégrale syuectique.

51 . Pour engendrer la fonction ;/, nous partons du point s^, avec une valeur initiale arbitraire ii^, et nous faisons mouvoir la variable z sur une courbe cjuelconque dans une portion déterminée du plan. Tant que le coefficient diiïéreniiel donné f (^11, z) reste synecticjue pour les valeurs de z et les valeius corrcspondanies de ?/, la ionrtinn «, eu vertu du tli.éorème pré-