LI\ UE II

cèdent, reste elle-même synectique. Ainsi, quel que soit le chemin suivi dans celte portion du plan pour aller du point z^, au point z, la fonction u a en ce point la même valeur. Mais si, sortant de cette portion du plan, et, suivant un certain chemin, on arrive à un point z, tel que, pour z= Zi et i/= »i [u^ étant la valeur correspondante de //), le coefficient difïérentiel devienne infini, ou se présente sous la forure - ■> ou cesse d'être ^ o

monodrome, la fonction // éprouvera autour de ce point des modifications, et acquerra des propriétés spéciales, qui se trans' metiront ensuite dans toute Fétenduedu plan.

Cas où le coejficienf différentiel deuient infini.

52. JNous sommes partis du point 2^, avec la valeur initiale /i^,. Supposons que, la variable arrivant au point z^, la fonction accjuière une valeur Mj telle que, pour z = Zi et ii= Ui , le coeflicient différentiel /^ (/<, z) devienne iniini, de manière toutefois que son inverse reste fini et continu dans le voi-

sinage de ces valeurs. Posons

3 =: Zi + s', H = M, + II' ,

d où

Si Ton regarde z'commc une fonclionde »', celle fonclion devra satisfaire à l'équation différentielle

dz' __ I

du' y («I ■+■ «', Zi -H- z' )

et admettre la \aleur initiale z' =z o pour // = o.

La fonction

restant finit; cl ( ontinue, esl développable en une série convergente oidoniice suixani les puissances cioissantes de //'cl de "• et l'on a

(i/i ! -— T =r au"" H" bz f- eu z + cz -4- —

FONCTIOKS nÉKIMKS l'Ail DES f.QI AT1()^S 1)1 FHÏUKMI ELLES D'.>

Si le second luemlnc ne leiircnuail aucun ici me iiidépiiitlanlde^', réqiiatiou dilïéreulielle se mettrait sous la forme

—-■—z'ib^ cil' -i-c'z' + . . . ) , (lu'

d'où Ton déduirait

lo2 ^ .== \ ( * H- ^"' + tfz' H- . . ■ ) du' ,

en appelant z| la valeur de z' qui correspond à //| . Quand s' et ?/' tendent vers zéro, le second membre tend vers une valeur iinie, tandis que le premier croît i ndé lin i ment. Dans ce cas, l'équation différentielle n'admet aucune intégrale s'annulant avec z' .

Ainsi la série renferme au moins un terme indépendant de z'5 nous désignerons par «u'"' celui des termes de ce genre du degré le moins élevé. Avec la valeur initiale r/=() [)Our z/'= o, l'équation diiVérentielle (i4) déiinit sans difficulté une fonction de u' svneciique dans le voisinage de // = o, et, par conséquent, développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de i^ . Soit

2'= A„«^ H- A, Mî<-^'-f- . . •

celte fonction. L'équation différentielle devant être satisfaite, si l'on substitue à la place de z' cette valeur, on aura

A„ a k''/— I + A, (a -f- i) 11''^- . . . = au'"' + h A„ u'y + . . . .

Eu identi liant ces deux séries, égales pour toutes les valeurs de u' inférieures à un certain module, on déterminera les exposants et les coefficients de la série z'. Les premiers termes donnent

a rr w -|- 1 , A„=: -

d'où

Réciproquement, si Ton considère u' comme une ibnction de c/, cette fonction sera déterminée implicitement [>ar I «'qua-

non (i5). A chaque valeur très-pelite de z' correspoudeiit [m -I- i) valeurs très-peliles de //; ces valeurs sont seasibkment égales aux racines de réquation binôme

el 1 on a approximalivenienl

en désignant par R^ la quantité 1 — — - | • Posons z' — p ctM^

el appelons u^ , u[ , u^ , . . . ^ u'^^ les m -+- 1 valeurs de //disposées suivant les sommets d'un polygone régulier, savoir :

Quand le point 2' décrit un cercle très-petit autour du point ^'^o, l'argument augmentant de 2:1, 11'^ se change en /<[ , ii\ en Mj , . . . , /<'„ en u\ . On conclut de là :

rHÉonÈME II. — Lorsque i pour un système de valeurs siniuï- Innées 2, et //,, le coefficient diffiérenliel devient injini, si Von désigne par m l'ordre de la première dérivée partielle de la

jonction -,. par rapport a u qui ne s annule pas, la fonction

intégrale u prend m -f- i valeurs qui se permutent les unes dans les autres circulairement, quand la variable z tourne autour du point z^ ; après m -+- i tours, la fonction revient à sa valeur primitive. =

Ain'si s'engendrent les fonctions multiples. Les fonctions algébri([ues, étudiées par M. Puiseux, rentrent (ians cette catégorie; et en elîet, lorsiju'en un point du plan 1 équation admel des racint^s égales, le cocKit ieni diUerenliel devieni en géncMal infini.

Poson^ z' = z''"'~^K Oiiand z" [;\\[ un tnui , c'en fait '// -+- i.

I ONCTIONS UÉl IMKS l'Ail ORS KOUATIOAS DU I f^RI-iVri KI.l.KS . .>"]

Cl par conscqueiil a' vu (ail un cl revieul à Ja uicmc valeur. Ainsi la fonction u' est monodronie par rapport à la variable z" ^ elle est d'ailleurs naonogène ; donc ellesedévcloppe en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières cnus-

saules de z" ou de z'"''^\ et Ion a

II' =z B„ z'"^ 4- B, z'"^ -H

Il resterait maintenant à examiner ce qui arrive lors([uc le

coefficient dilîércnlicl se présente sous la forjne -5 ou cesse

d'être monodrome 5 mais nous ne pousserons pas plus loin ici cette étude : ce qui précède suffit pour le but que nous nous proposons. Nous avons traité avec détail cette question importante dans uii iNIcmoirc inséré au !^6"'" cahier du Journal rh- L Ecole Polytechnique^ et auquel nous renvovons le lecteur.

CHAPITKE 11.

APPiaCATIOK AUX FONCTIONS SIMPLEMENT PÉKlOniQl ES.

De la jon ctio n e'\

53. Nous avons démontré que toute équation diiïérentielle engendre une fonction, et inditpié la marche à suivre pour étudier les propriétés de cette fonction. x\vant daborder l'étude des fonctions doublement périodiques, nous allons, pour faciliter fintelligence de la méthode, considérer quehpies équations dillerentielles très-simples, donnant naissance à des fonctions simplement pénodiques.

Considérons d'abord la fonction définie par 1 écfuation dilfércntielle

flz

cl admcllaiil la \alcui // =. 1 pour s = o. Le coefru icnl dillérouiicl claul une fouc liou syncrtifjuc de ;/. il est clair que., lanl

58 i.ni'.E II.

tjue u conserve mie valeui' finie, la fonction inlégiale ii leste elle-même font lion monodrome de z. Mais il est aisé de voir que cette fonction ii ne devient infinie pour ancune valeur finie de z ; car, la fonction inverse étant donnée par l'intégrale définie

T" du

si «s'éloigne à l'infini suivant une ligne quelconque, z va aussi à l'infini. La fonction u définie par l'équation différentielle proposée, restant finie, continue, monodrome et monogène pour-toutes les valeurs finies de s, est une fonction synectique de s, dans toute l'étendue du plan.

Cette fonction est périodique 5 car à une même valeur de u correspondent toutes les valeurs que peut acquérir l'intégrale définie (2), quand on va du point i au point u par différents chemins \ la fonction , j)lacée sous le signe somme, devenant infinie pour u = o, tous ces clicniins peuvent se réduire au chemin rectiligne augmenté d'un nombre quelconque de fois le contour élémentaire qui enveloppe 1 e point it = o. Si l'on désigne par z l'intégrale rectiligne, et par oj l'intégrale le long du contour élémentaire, on voit qu'à chaque valeur de zf correspondent une infinité de valeurs de z en progression arithmétique, savoir z -+- m o), ??i étant un entier quelconque positif ou négatif. Donc u est une fonction simplement périodique de z ; la période w a pour valeur 27:/. On sait que la fonction u n'est autre chose que e% lorsque la variable z est réelle 5 il convient de la représenter par' le même signe loi^sque la variable devient imaginaire.

Soit Ui la valeur de la fonction pour une valeur déterminée Zi de la variable; posons z = Zi-+-z\ 11 = 11^11', z' étant vuie nouvelle variable, ii' la nouvelle fonction ; l'équation différentielle devient — - = «/'. et 1 On a encore u' =z i pour 2:'^o. clz

On en conclut //'= c , ce qui donne la relation fondamentale Imaginons que Ion trace dans le plan des parallèles à 1 axe

Al'l'LlCATIO.N AUX lOACTjn.NS S I \l !' J KME.NT l'KIUOniQUES. '.ig

ox {/'g- y), ;i {'•gale dislaiicc- 2 n les unes des ;jiilies^ ces pa-

rallèles partageront le plan en bandes égales. Quand la vaiiablc z se meut dans une bande, la fondione' passe ])ar toutes les valeurs possibles, et une seule fois par chacune d'elles : elle devient iniinic; si la variable z s'éloigne à 1 iii- (ini vers la droite, nulle an contraire si elle s'éloigne à linlini vers la gauche. Quand la variable z passe d'une bande à l'autre, la fonction re[)rend périodiquement la niènie valeur.

L'équation différentielle — = «zf, avec la condition ;/ = i pour 2=0, produirait évidemment la foiictioii // = c"'. De la Jonclion taiig z.

54, Considérons en second lieu la fonction dciinie [)ar 1 cquation dillérentiellc

~dz

et admettant la valeur initiale a z= o pour j: = o.

La dérivée étant une fonction syiiecli([ue de u. la foncliuii intégrale n reste monodrome tant qu'elle conserve une valeur finie. Mais il peut arriver ici que u devienne infinie pour une valeur finie de z ; cai- l'intégrale définie

lend vers une valeur finie quand u s'éloigne à l'infini dans une direction quelconque. Soit donc a une valeur finie de z qui rend u infinie ; pour voir ce (jul airivc dans le voisinage de ce

point z = a, nous poserons z = a -h z' , 11 =z -: I ('(lualion difl'éreulicllc dcvnrif

Go LIVHE ir.

•^ se réduisant à zéro poui' ^' = o ; la t'oiicLÎou u restant monodrome dans le voisinage du point z = a : il en est de même de la fonetion //. Ainsi l'équation ditïérentielle proposée définit une fonction de z monodrome dans toute l'étendue du plan ] mais cette fonetion n'est pas syneetique, car elle devient inlinie pour des valeurs finies de z.

Cette fonction est périodique ; à une même valeur de n correspondent les valeurs de z données par l'intégrale définie (4) , dans laquelle il faut concevoir que la ligne d intégration prenne toutes les formes possibles. La fonc-

tion -, placée sous le signe somme, devenant infinie pour

u = -\- i et II =z — i, tous les chemins peuvent se réduire au chemin rectiligne augmenté d'un nombre quelconque de contours élémentaires autour de l'un ou l'autre des deux points it ^= ■+- 1\ Il = — /• ces deux contours élémentaires donnant la même intégrale w = tt, on voit qu'à chaque valeur de u correspondent les valeurs z -+- ni w. Ainsi la fonction u est simplement périodique, et la période est n. On désigne cette fonction par ic signe ta/ig z, parce que, pour les valeurs réelles de 2, elle se confond r avec la tangente tiigonomé- Irique de l'angle z.

Des parallèles à l'axe des j, à la distance tt les unes des autres , parlageron t le plan en bandes égales {Jig- lo) 5 quand la variable z se meut dans une bande, la fonction tajig z passe par toutes les valeurs jjossibles, et une seule fois par chacune d'elles; quand la variable passe d'iuie bande à l'autre, la fonetion reprend périodiquement la même valeur. La tonelion tang z n'a qu'un seul zéro et nu seul infini diujs (haijue bande, dans la première

Fiff, 10.

le zéro est ~

inliiM ;; =: -•

APPMCATIOi\ \l\ rOlNCTlONS Sf M l'J.EM l'.^ T l-KC lO li|(^) l KS . (il

La foiiclioii tniig z est impaire. Car, si dans Tinlégiale détinic (4), on fait marcher u suivant deux chemins opposés, de part et d'autre de l'origine m = o, on obtiendra pour z des valeurs égales et des signes contraires; ainsi

taiig ( — s) = — tang z.

l/é(|uation (5) admet pour intégrale

(' = — tang (z') = — tang {' — \] ^ l''»"J il oa résnllc la relation

tan" I 2 1 =

tang 3

Des fond ions sin z et cos z.

55. Piopo.sons maintenant d étudier la ibnciion délinie par l'équation didérenlielle

(6) '-£=s!Ç'{it-ft){u-b),

et admettant la valeur initiale // =3: o pour z = o ; on donne en outre la valeur initiale de la dérivée (jue nous désignerons par L'o- La fonction inverse

C" du

cioit indéfiniment avec u : ainsi u ne devient infinie pour aucune valeur finie de z-, il reste à examiner ce qui arrive lorsque u s'approcht! de l'une des valeurs a ou h pour lesquelles le radical n'est plus une fonction monodrome de u. Soit ^, une valeur de z pour laquelle 11:= n\ posons

z =7 s, + s', « = <7 + «'■ ; l'équation différentielle devient

du'

<lz 1

II! s'évanouissant avec z ; la dérivée restant monodrome pour des valeurs suffisamment petites de u\ il est clair c[ue // est elle-même fonction monodrome de z', dans le voisinage de z' = o, et par suite u est fonction monodrome de z Idans le voisinage de la valeur z,. 11 en est de niènie<[uand a atteint la

6" 2 j.niiK II.

\aleiir h. On concliU de là que la i'omtion ;/, déiiiiie par l'équalion tlifîereiiiielJe pioposéc, esl une fonction syuectiqae de 2, dans toute l'étendue du plan.

L'intégi'alion présente ici une particularité qu'il est bon de remarquer. Quand la variable .:; arrive au point z^ pour lequel u = a, on peut concevoir que, z continuant h varier, u conserve la valeur constante o , ou bien varie elle-même, et alors son accroissemcut est la valeur de ?/", qui est indépendante du signe du radical. I.a même remarque s\ipplic{ue au point b.

Etudions maintenant la fon( tion inverse donnée par Tintégrale définie

'~Jo s/G{u-a){u-J)' Nous nous servirons pour cela d'une méthode très-élégante, dont le principe esl flû à M. Caucby, et ([ui a été appliquée avec beaucoup de succès par M. Puiseux à la recherche des diverses valeurs que peut acquérir une intégrale définie, quand ï^'''- ■'• on fait varier la ligne d'intégration.

Dans le plaii servant à figurer la varialion de II, marquons les deux points a et b [fig. i i), qui coriespondent aux valeurs // = «, u ^= b. Désignons par (A) le conioui- élémentaire que l'on obtient lorsque la \ ariable u va en ligne droite de l'origine O à un point très-voisin de «, déciit un cercle très-petit autour de ce point, puis revient à l'origine par la même droite. Désignons de même par ( B) le contour élémentaire qui enveloppe le point b. et enfin appelons A ei 1') les valeurs acquises par l'intégrale définie quand la variable 7f décrit chacun de ces contours avec la valeur initiale L'f, du radical. ]Nous remarquons d'abord que lintégrale relative à chacun des petits cercles est infiniment petite. Quand la variable h, après avoir parcouru la droite 0«, décrit un petit cercle autour du point «, le radical change de signe, et il revient à l'origine avec la valeur — U^, \ dans la seconde partie du mouvement, la droite nO étant parcourue en sens contraire avec un radical changé de signe, les éléments

API'LICATIOjV Al \ I U^C'l ION S SI M l' J.KM K.NT l'ÉRIODIOlIKS . ().\

(le I iiiu'-i;ratioii se icproduiseni aviM le raèiiic signe, ce qui nous apprend que rinléi;rale A, relative au contour élémentaire (A), est égale à deux fois Tiiitégrale rccliligne suivant On. Les mêmes considérations s'appliquent au contour élémentaire (B).

Cela posé, tous les chemins qui vont de rorii;ine O à un point quelconque M peuvent être ramenés au ciiemin recli ligne, précédé, s il est nécessaire, d'une combinaison quelconque des contours élémentaires (A) et (B) : i" Ceux qui se I amènent au chiMuin rectiligne OM, sans passer par lim des points non h, donnent l'intégrale rectiligne que nous appellerons z. 2" Ceux (jui se ramènent au contour élémentaire (A ) suivi du clicniin iccliligneOM, donnent pour intégrale A — z -, car, après le contour élémentaire (A), le radical ayant changé de signe, le chemin rectiligne donne un résultat de signe C071traire — z ; ce qui fait A — z. 3'^ Les chemins qui se ramènent au contour élémentaire (B) suivi du chemin rectiligne OM, donnent de même B — z. f\^ Supposons maintenant que la variable n décrive d'abord le coniour élémentaire (A), puis le contour élémentaire (B), et enfin le chemin rectiligne OM ; le premier contour donneia A; le radical avant changé désigne, le second doiinera — B; le radical, ayant changé de signe une seconde fois, a repris à lorigine sa valeur primitive -h U^,, de sorte que le chemin rectiligne fournira de nouveau la valeur z ; en tout A — I) -+- z. En général, le double contour élémentaire (A) -f- (B), piécédant \\n chemin quelconque, augmente l'intégrale de la quantité constante oj = A — B; comme on peut introduire ce double contour aiitant de fois que l'on veut, on ajoutera à l'intégrale un multiple quelconque de w. Ou aurait pu revenir à la valeur initiale primitiveL^du radical, en parcourant deux fois successivement le contour ( A) , ou deux fois le contour (B); mais le résultat A — A ou B -^ B serait nul.

Nous avons trouvé d'abord l'intégrale rectiligne z, que Ton peut augmenter d'un multiple quelconque de o), ce qui fait une première série z -f- mw. jNous avons trouvé ensuite une seconde valeur A — z, qui, augmentée de même d'un multiple (|uelconque de '-), d(mne une seconde série A — r -h /// o). La

64 i.ivr.E n.

troisième valeur B — z rentre dans les séries précédentes -, car on a B — z := A — z — o). Il résulte de là qu'à clia(|ue valeur de II correspondent deux séries de valeurs de z, savoir z -)- nihi et A — z -\- ni'ji en progression arithmétique. Ainsi la fonction u, définie par léquation différentielle, est une fonction de 2, synectique et simplement périodique. Dans chaque bande la fonction passe deux fois par la même valeur, et la somme des deux valeurs de z qui dans chaque bande donnent la même valeur de u. ont une somme constante A, abstraction faite des multiples de la période oj. 56. L équation particulière

du ,

à laquelle on joint les conditions u = o etUo ^ i pour z =^ o. donne naissance à la fonction synectique impaire et simplement périodique, que l'on désigne par sin z. L'intégrale recti-

ligne de « = o à î/ = I étant égale à -5 on a A =Tr : d'ailleurs

V» z= A ^ donc 'j) = 2 7:. A chaque valeur de u correspondent

deux valeurs de z, dont la somme est constante et égale à rr j on a donc la relation

sin (tt ■ — 3) =r3 sin z, et , par suite .

sin (tt -f- z) = — sin z.

Si l'on pose

m' = V^' — "% l'équation différentielle devient

du' I r-

«/ayant la valeur initiale lî = 1 pour z = o. Cette nouvelle fonction II! est synectique par rapport à z, et simplement périodique -, on la désigne par cos z. En remarquant que dans l'équation (7) « acquiert la valeur u = 1 pour z = y , on en conclut

= sm I -

Al'PLIC.VTIO^ ALX lOrvCTIO^S SIMPJ.EMF.M l'KlUODIQl ES. 65

Il csl racilccrohU'iiii- les rehiliuns qui cxislenl cnlii; les foiulioiis dont nous venons (le parler. On a d'abord, enveiludela K'Ialion sin^ z H- cos' ^ = i ,

D.- cos z r= — sin z, Dj sin z =^ ces z ; d où

D: ( cos z + / si n 2 ) = / ( cos z -(- / sin 3 ) .

Comme d ailleurs la fonclion eos z -\- i sin 2 se réduit à I unité pour z = (>, on en eouelul la lelalion

cos z -4- / sin z = c'- .

Si l'on pose

il \ ieiil

sm z cos z

sin- z -I- cos- z

ros^ z

d'ailleurs v s'évanouit avec z. il en lésulle celle antre relation

sin z

tan<; z =

cos z

PropvicLcs ^ètièi'dles des Jouclions simp/c/nc/il pci ioiliqites.

57. Nous venons d'étudier di\ erses équations diflérenlielles <ioniianl naissance à des fondions simplement périodiques. C'est ici le lieu de dire cpielcjues mots des propriétés générales des fonctions simplement périodiques.

II est évident qu'une fonction simplement périodique, nionodrome et monogcne, devient infinie au moins une fois dans l'intervalle de chaque période, sans cjuoi la fonction ne deviendrait pas infinie dans toute l'étendue du plan. Cette fonclion doitaussi devenir nulleet passerpar toutes les valeurs possibles.

La plus simple des fonctions doublement périodiques est

la fonction synectique e '"' , qui admet la période w. Si Ion ])artage le plan en bandes égales par des droites parallèles à une nnnne direction arbitraire menées à la distance w, la fonclion reprendra périodiquement la même valeur dans eliacune de ces bandes aux points correspondants, c'est-cà-dire aux points silués sin- nue parallèle à une même direction , cl à

66 LIVUE II.

la dislaïuc w les unes des aulres. La ioiiclion e '■"' ne passe qu'une fois par la même valeur dans chaque bande; elle devient infinie pour 2; = H- oo , et nulle pour z = — 00 . La fonction

tane — =

'27: zi

ne passe comme la précédente qu une fois par la même valeur, dans chaque bande. Elle n'admet qu'un seul infini simple et un seul zéi'o simple dans chaque bande.

58. Au moyen d une fonction monodrome simplement périodique (f[z) h un seul infini , on peut former ^ine fonction siniplementpériodique, ayant la mêinepériode,etdanscliaqucpéi'iode, des infinis quelconques a, ê, y-,.-.-, et des zéros quelcoriques en même nombre a^ h^ c, . . . . Il sullil de prendre la fonction

Lors([uiiiie fonction monodrome et monogène a une infinité d'infinis placés en ligne droite cl à égale distance^ et une infinité de zéros placés atissi sur une ligne droite parallèle à la précédente et à même distance, cette fonction est simplement périodique. Car on peut former une fonction simplement périodi([ue ayant les infinis et les zéros donnés, et, d'après le lliéorèiuc \ (chapitre I\ , livre 1), la fonction proposée sera égale h cette fonction périodi([ne multipliée par un rapport conslanl.

Plus généralement, concevons une fonction / (-) dont les infinis et les zéros soient disposés par groupes égaux et é(jnidistanls , suivant une même direction. Je dis d'abord que, dans cha([ue groupe, il y a anlant de zéros que d'infinis. Supposons, en effet, (pie la fonction y^( 2;) contienne un plus grand nombre de zéros qne d infinis-, on pouira former une fonction simplement périodicpic F(z), admettant tous les infinis de

J [z) et \\n(^ partie des zéros : le (judlient — — n ayant plus

Vl'PLICATlOK \L\ l'OKCTlOWS SI M l'I.l; MKNT l'T.R lOI) lOli i:S . ()-J

(liiilinis, est conslaiil ; donc J (2) ne peul avoir [)lus de /éios que F (2). Supposons, au contraire, que la O^nclioiiy (z) ait moins de zéros que d'infinis, on formera une fonction simplement périodique F (z) admettant tous les zéros dey(s) et une

nartic des intiiiis. Le quotieiil -~^ iTavanl plus d'infinis, est

constant; doncy(2) a autant de zéros que F (z). Ainsi, dans chaque groupe, le nombre des zéros de la i'ourùouJ'[z) est le même que celui des infinis. Si maintenant on appelle F (s) la fonction simplemen^t périodique qui admet ces infinis et ces

zéros, le quolicnt '-—. — étant constant . on\oit(rue la fonction

/ (s) est elle-même simplenuT.t péiiodicjue.

Si la fonction périodi([ue n'était pas monodrome cl ]:)renail /// valeurs pourciiaquc valeur de z^ elle serait racine d'une équation algébiique du degré /;/ , ayant pour coefficients des fonctions périodiques nionodronies ; car toute fonction symétiique des in valeurs de la fonction est une fonction monodrome.

Il résulte de là que I on peut caracîériseï- 1 ordre ou le degré d'une fonction simplement périodique par le nombre des infinis (ju'elle admet dans chaque bande. Si elle est monodrome et admet n infinis, elle s exprimera par une fiaclion ration-

nelle en e '-' du dcgrc-//.

59. Cherchons mainlenanl la relation qui existe entre une fonction monodrome simplement périodique p* qui ne devient

infinie pour aucune valeur finie de z et la fonction /< = e '-" , A chaque valeur de 11 correspond une série de valeurs de z données par la formule z -f- ni 0)5 mais à toutes ces \aleur,s des ne correspond qu'une seule valeui- de t^ : ainsi i^ est monodrome; par rapport à u\, d'ailleurs cette valeur de w est toujours finie, excepté pour i< = o et « = ce . îl en résulte que v est développable en nue double série convergente ordonnée suivant les puissances entières positives et négatives de u (îîO), ce qui donne l<i série de Fourier.

LIVi;!:; II.

CiîAPITHE III.

OniGINE DES FONCTIOÎNS DOlIilElMEAT PÉRIODIQUES.

00. Pioposous-iious crabord d étudier la fonciioii défînif par 1 ôqualion différeniielle

cl la valeur initiale u^ o pour z = o. Il faut encore indi- (|uer le sii;iie avec lequel on prend le radical pour z = o -^ nous désignerons par U^ cette valeur initiale du radical. Cette fonction ne })eut cesser d'être monodroinc que lorsqu'elle devient infinie ou égale à l'une des cjuanlités <?, b^ c, pour lesquelles le radical s'annule. Supposons que pour 2 = 2:, la fonction 11 devienne égale à a : si Ton pose

OU a

(Iz 1

T.e radical étant fonction moiiodroine de zt', pour les valeurs de //siiflisaniment petites, il en résulte que i/, et par suite?/, rejiiend la même valeui' quand la variable z tourne autour du point r,.

Mais u peut devenir infinie pour une valeui" finie de z ; car 1 inlegrale

fia

'(-, \ Cj [u — a\ [ Il — l') {«■ — c )

tend vers une valeur finie quand u s'éloigne indéfiniment suivant uiie direction quelconque. Soit donc a une valeur finie iie z pour laquelle n devient infinie. Posons

OIIIGIWE DKS lOACTIOJSS DOL lU.K.M i;> l l'i'll I OD IQL KS . (i{)

Irqualiou cliircroiilicllc devient (h

— ■ = — V G «' (i — ni>) (i — bi>) (i — a>

Si lOii {;iil cnsuilc ri le; se lédull à

-VG(.

^i — bv'-) (i — ce''') ,

et l'on a \-'' = o pour z' = o. La fonction i^' délinic par l'équation (2) restant luonodronie daus le voisiuage de z'= o. il eu est de même de la fouetiou u. On conclut de là que a est une foucliou luouodrome de z dans toute rélendu<' du plan. Etudions ir.aint(Miant la fonction inverse

Jo v'Gf [u — a)[u

Fig. v?..

Dans le plan (pii sert à figurer la variation de «, manpions les trois points rt, è, c (/'w,'. 12); désignons, comme nous l'avons fait précédemment, par (A), (B), (C) les trois contours

élémentaires correspondants, et appelons A, B, C, les valeurs de Tinlégrale définie relative à ces contours. Tous les chemins cpii vont de 1 origine à un point queiconque M du plan peuvent être ramenés au chemin rectiligne OM, ou à ce chemin rectiligne précédé de l'un des contours élémentaires ou dune combinaison de ces contours \ appelons z la valeur de l'intégrale rectiligne OM. Tous les chemins qui se ramènent au chemin rectiligne, sans passer par l'un des points <i!, b^ c, donnent la même valeur z. Supposons que la variai) le n décrive d'abord le contour élémentaire (A), le radical, changeaiit de signe, reviendra à l'origine avec la valeur — U„, de sorte que, si u parcourt ensuite le chemin rectiligne OM, l'intégrale prendra la valeur — z^ eu tout A — z, Siq>posons mainlen.Tnt qn-

yo LIVRE ir.

la variabîc //, après avoir tiéciil le cosiloiu' (A ), décriveensuilc vm autre contour élénientain^ ( '*) • P^'" "" second changement (le signe, le radical reviendra à l'origip.e avec sa valeur initiale U„, lintégrale ayant alors lavaleur A — B : si ronmarclie ensuite suivant un rlieniin quelconque, on voit (|ue Finlégrale sera augmentée de la quantité constante A — B; par exemple, si l'on suit le chemin recliligne OM, on aura A — B H- ;r. La variable ^^ pouvant décrire le double contour (A) -h (B) autant de fois que l'on veut, l'intégrale sera augmentée d un multiple quelconque de la c|uantité constante w = A — B, qui constitue ainsi une uremière période. On aura de même deux autres périodes 'j)' = A — C. rj>" =^ B — C ; mais comme w" ^= oi' — w, cette lioisième rentrer dans les deux premières. Si Ton parcoulait deux fois successivement le même contour (A), on reviendrait à la valeur initiale U„ du radical, mais la valeur de l'intégrale A — A serait nulle. Ainsi il n'y a pas d'autres périodes (]ue les deux que nous venons de trouver.

Il ) ésulle de ce qui précède qu'à chaque valeur de u corresponds nt deux séries de valevtrs de z représentées par les for-

nuiles

dans lesquelles m et /?i' désignent des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Les valeurs B — z, C — z, que 1 on obtiendrait en parcourant, daboidî'un des contours (B) ou (C), puis le chemin rectiligne OM, rentrent dans la seconde série 5 car-Bz=A4-B — A=A — œ,C = BH-C— A = A — w'.Réciproqnement on conclut de là que /< est une fonction raonodrome F»g i3. de :; doublement périodi(|ue-,

(iuand la variable z augmente ou diminue delvmedcs quantités 0) et to', la fonction u. reprend la même valeur.

Dans le plan qui sert à figurer la vaiialionde z, portons à la suite les unes des autres les longueurs 00 1, 0,0,, o,Oa,,,. { fig. i3), égales à

ORlGIMi: DI'S lONCIIONS UOLilîLEME.M l'tu lODlOU F,S. "1

la première! périodr o), les longueurs od , o' o" ^ o"o"',-..^ égales à la seconde période o/ ^ par les points o, o', o",..., menons des parallèles à ooi^ et par les points o, Oi, Oj,.--? des parallèles à oo' : ces parallèles diviserout le plan en parallélogrammes égaux, dans lesquels la fonction u reprendra périodi([uement la même valeur. Dans chaque parallélogramme, la fonclion u passe deux fois par tous les états de grandeur, et la somme des deux valeurs de z qui correspondent à la même valeur de u est constante et égale à A, en négligeant les multiples des périodes. La fonction, dans chaque parallélogramme, admet deux zéros simj)les, z=:o, z=:A, et un inliiii

double z = — •, car léquaiion (2) nionlre (pie z' = o ou i; = 7.

est un zéro simple pour u' cl par conséquent ini inlini double pour II.

()1. La méthode précédente s applique sans didicullé à 1 équation didercntielle

à bupielle on joint les conditions u = o, — - = L\,, pour z=o.

La fonction u reste monodrome même dans le voisinage des valeurs a, />, c, r/, pour lesquelles la dérivée cesse d'être monodrome par rapport à u. Soit a une valeur de z qui rend u infinie -, si l'on pose

réquation devient

clt>

(4) ^' = - V'Gr(l — ai') (1 - Ih>) [l - Ci') (I - dv),

et l'on a la condition u = o pour z' = o. La fonction u restant monodrome dans le voisinage de s'= o, il en est de même tle u. Ainsi la fonction u est monodrome dans toute retendue du plan.

72 LIVRE n.

CoiLsidéions inajuleiiaut la ronclioii inverse

(lu

'o Vf>(« ~ ") (« — l^) (il — c)[u—d) Dans le plan relatil" h la variabh; //, marquons les (jualrc Fig. i/,. points rt, b, c, d [fig. i4),

dans Tordre où ils* se présentent quand on fait tourner le rayon vecteur dans un sens déterminé , et considérons les contours élémentaires qui enveloppent ces différents points. Comme nous l'avons expliqué plus haut, quand 1"^ variable z< parcourt successivement deux contours élémentaires, ou ramène à 1 origine, par deux cliangcments de signe, la valeur initiale du radical ; il en résulte les six périodes

Mais ces six périodes ne sont pas distinctes; on remarque d ahord que les trois dernières, étant des combinaisons des tiois premières, rentrent dans celles-ci. JNous allons faire voii- maintenant que les trois premièri's périodes se réduisent à deux.

De 1 origine comme centre, avec un très-grand rayon OL, décrivons un cercle, et supposons que la variable u parcoiuc d'abord la droite OL, puis décrive la circonférence dans le sens indiqué par la flèche, et revienne à l'origine pai' la droite LO. Ce contour fermé é(juivaut évidemment h la somme des quatre contours élémentaires (A) H- (H) -f- (C) -\- (D),paicourus dans l'ordre indiqué, ce (jui «lonne 1 intégrale A — I) -h C — D. Le ladical, ayant éprouvé quatre changemcjits de signe, reprend à lorigine sa valeur initiale l ^ ; quand la vaiiable, après avoir parcouru la droite OL, a décrit la grande ciiconférencc, le radical reprend au point L la ni^ne valeur, et par suite la

OUlGliVE DES lOKCTIO.NS POl DLICME.NT l'ÉT. K JDIQL ES. "^ .]

sccoiuli- inlégralc IX) tléuiiil la [ticmièic C)l, ^ il icslc à cvalucr 1 iiiléi;! aie (Miculaiic. SI 1 on pose z = /'e^' , celle intciçi aie a par expression

([uand le layon augmente indédninienl. celle inlégi aie tend vers zéro. Comme rintégrale lelative au contour lornié OLL'f.O est nulle, il en résulte la relation

A — B -t- C — D = o ; a ou

ce (jui fait rentrer la troisième période A — D dans les deux premières. Ainsi la lom tiou u est doublement périodicjue: elle admet les deux périodes w = A — ■ B, w' = A — ('.

Si l'on néglige les multiples des périodes, on voit qu'à chaijue valeur de « correspondent deux valeurs de z, savoir: 1 intégrale j'ccliligne z et A — z, les autres valeurs 15 — :, C — z. D — " rentrant dans la seconde par des additions de périodes. La somme de ces deux valeurs est constante et égale à A.

Dans chaque parallélogramme des périodes, la fon< lion u passe deux fois par tous les états de grandeur ; elle admet dcu\ zéros simples 2 = o, 2 = A, et deux intinis simples z = ex. z ==,3. L'équation (4) montre, en eOet, que z^=y. est zéro simple poui- p- el, par conséquent, infini simple pour 11.

02. 11 résulte de ce qui précède que, lorsque le polynôme placé sous le radical est du troisième ou du qualiième degré, la fonction définie par l'équation dilleientielle est mouodrome et doublement péiiodicjue. Il est aisé de voir cpie. si le polynôme était d un degré supéi ieui' au quatrième, la fom lion u cesserait d'être monodrome.

(^m'aillerons en général ré{{uation (/il

l (II] désigiinnt un polynôme cntict du degré ///, cl soit v. une