V^=: C'FI

et l'on a

Quaud le degré /;/ du polynôme F (//) ne surpasse pas 4, If nouveau coe!îuicnt dilïérentiel V conserve une valeur finie pour u = G, et par suite, en vertu de ce qui précède, la fonction i' reste monodrorae quand z tourne autour de a.

Lorsque le polynôme est d'un degré supérieur à 4, le coefficient dilïérentiel V devient infini pour i> = o, et la fonction u n'est plus moiiodrome. Supposons d'abord que le polynôme F ( II) soit d'un degré pair 2 «, on aura

d OÙ l'on dédnira pour \ une expression de la forme

En vertu du théorème II (livre II, chapitre I), quand z tourne autour du point a, la fonction p- prend // — i valeurs, qui se permutent les unes dans les autres circulairemenl.

Si le polyp.ôme est du degré impair ni = 2 n -+- 1 ^ on posera

<- = ,/% d'où

Le coefficient dilïérentiel de l'équation

di>' V

dz' 2 v'

élanl, par rapport à c', un infiniment grand du degré 2 n — 2, la

OUMllNi; l)i:S JOKCTIOJNS rXjLBLEMENT Pltu lODIQU ES . ']'.'>

loiiclioii t'' el j)ar suilc t' iuliUL-Uciil 2// — i \ak'ursc-n série circulaire, quand z lonrneamoiir du point y..

Lorsque m = 2, u esl une ionction de z simplement périodique, qui ne devient inlinie pour aucune valeur linie de z.

Lorsque m = 3 ou 7n = 4i '^ fonction est doublement périodiqxie et admet deux infinis dans chatjue parallélogrannne des périodes.

Mais lorsque m est plus grand que ^,'\c nombre des périodes surpasse en général deux j dans tous les cas, la ffjnction n'est ])lus monodionie cl prend une infinité de valeurs en * ii.upu; point du plan.