CHAPITRE lY
l'UOPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS [OIBLEMEKT l'ÉUK vniOUES.
Des périodes.
03. Dans le. chapitre précédent, nous avons fait voii- comment certaines équations dillérenlielles donnent naissance à des fonctions monodromes et monogènes doublement pé'iio'Jiques. Dans le chapitre actuel, nous nous proposons de démontrer les propriétés fondamentales des fonctions doublement périodiques en général.
On conçoit directement lexistence des fonctions doublement périodiques. Que Ion suppose le plan, dans lequel se meut la variable z, divisé en parallélogrammes égaux ayant pour côtés les deux quantités géométriques ro et 0/, et que Ton se représente une fonction monodrome reprenant la même valeur aux points correspondants de ces divers parallélogrammes, on aura une idée très-nette d'une fonction doublement périodique^ mais en général cette fonctioîi ne sera pas monogène.
Pour qu'il ait réi'llemenf deux périodes, il fan! que le rap-
port — soil imaginaire: auUemcnl . les <icu\ (quantités geome-
76 i-iVRi: II.
Iriquc's O) cl o)' ayaiiL la luèiiie direclicHi , les parallclui^iamiiics se rédiiiiaient à des lignes droiles. Il esl aisé de voir que, lorsque le rapport des périodes est réel et coiumeusurable, les deux périodes se réduisent à une seule-, en etTet, soit o) = /? w'^ o/r=/i'w", n el II' étant des nombres entiers premiers enîie eux ; on a
ptù ^ (j (,)' = ( /J/l + q/l' ) m" ;
les combinaisons des deux périodes sont des nmlliples de w'', et réciproquement, comme on peut choisir p et (/ de manière que pn -+- qn' soit égal à un entier donné, ces combinaisons donneront tous les niulti[)les de w"-, ainsi les deux périodes w et m' se ramènent à la seule période (à" et la fonction esî simplement périodique. Supposons le rapport des périodes réel, mais incommensurable; ce cas peut ôlie considéré comme la limite de celui où les deux périodes admettent une commune mesure w", infiniment petite; la fonction, reprenant la même valeur à des dislances iniinimenl petites 0/, serait une constante. Ainsi, dans toute fonction donbleinenl périodique, le rapport des périodes est imaginaire.
Gl. On peut choisir d'une inliniic de manières les périodes d'une fonction doublement périodi(jue. Pour fixer les idées, siq:)posons la fonction monodiome et monogèiic. Soit o un point ([uelconque (hi plan poiii' lecpud la fonction a la valeui' //y el la dérivée la valeur u\ [fig- i5); à ce point en corres- Fi;;. i;>. pondent une infinité d'autres
pour lesquels la fonction et sa dérivée re])rennent les mêmes valeius j/,,, */„. Joignons deux quelcon(jues de ces points o et o, 5 si, sur la (Il oite 00,, eidanslintei vallc de o h. Oi^ il n y a aucun autre j)oinl, on pourra prendre la gratideur gé(unclii(|tie 00, roniuu; une prcinièi'c période o"». Cai'^ la four! ion et sa dérivée
l'ROl'lUÉTtS GÉiN. DES 1 ONCTIONS DUIUL. IM.IUOUIQ t i:s . y^
avaiil cliacuiic la iikmiic ^alcul• tu o cl eu o,, si 1 on lail iiiuii- \oir la variable z. à partir de ces poinls, suivant des lignes <^gales ei parallèles, la fonction et sa dérivée auront consianinicnt la même valeur aux points toirespondanls. Il en résulte (jue, sur la dioilc indélinie oOi^ existent une infinité de points correspondants o. o,, o,,..., sé])arés par le même intervalle '». Maintenant iaisons mouvoir cette droite parallèlement à ellemême, juscpi'à ce qn elle rencontreun autre point o' : dans celte seconde position, la droite contiendra une nouvelle file de points correspondants o', o\^ o', ,. .., séparés par le même intervalle o). Si l'on joint deux points quelcon(jues o, o' de ces deux files parallèles, la grandeur géométrique oo' pourra servir de seconde période ; il est <;vid(;nt que sur la droite infinie oo' se trouvent aussi une infinité de points correspondants o, o', o",..., à la distance w' les unes des autres : on a ainsi deux séries de files égales et parallèles.
Ces deux séries de files parallèles divisent le plan en une infinité de parallélogrammes égaux entre eux. rjui ne renferment dans leur intérieur aucun des points o, Oi,... o', Il
est clair que la fonction et sa dérivée ont respectivement la même valeur aux poinls homologues de ces divers paiallélogrammes. INous appellerions parallèlo grnmine élémentaire lui! quelconque d'entre eux , par exemple le parallélogramme OOi o\ o'.
05. 3i()us avons vu ([ue Ton peut former dune infinité de manières le parallélogramme élémentaire. Désignons par o) et r>)' certaines périodes formant un parallélogramme élémentaire. Deux périodes nouvelles w, et (ii\ étant des grandeurs géométriques allant du point o à deux points homologues, on auia
Pour que ces deux périodes w, et o), puissent remplacer les deux premières, et former un nouveau parallélogramme élémentaire, il faut d'abord que p et fj soient premiers entre eux, ainsi (jue p' et q' : il faut en outre que '.) et 0/ soient récipi oque-
«^ Ln KE IJ.
ment des combinaisons de Wj et w, -, ce qui exige que les nombres entiers /?, 7, //, ({ vérifient la relation pq' — qp = ± i .
Celte condition exprime cjue les deux parallélogrammes sont équivalenis. En effet, soient
Mr=z a -{- bi^ m' = a' + (j' i' ; Taire du premier parallélogramme est
±l{ab' — ba'), celle du second
zt [{pa + fjn'){p' b + q' //) — [pb -+- f/b') [p'a + q' a' )] = ±{p<i'—<]p') («^' — ^"')- Si la condition pq' — qp'^dz i n'était pas vérifiée, le nouveau parallélogramme serait trop grand, et se composerait de la réunion de plusieurs parallélogrammes élémentaires.
66.' Soit le parallélogramme ooio', o' [fig. i5)-, en conservant la première péiiode 0^, et prenant pour seconde période la droite qui joint le point o à un point quelconque o, de la seconde flic, on obtient un nouveau parallélogramme élémentaire oOiO,. o', , équivalent au premier; dans ce cas, les nouvelles périodes sont o) et w'-l-/7 0), ce qui ajoure à Fune des périodes un multiple quelconque de l'autre.
On peut toujours, par une série de transformations pareilles, passer des périodes fx), 5/ aux périodes équivalentes oj,, '■o, . En
effet, réduisons en fraction continue la fjaclion - et soient
p. P^ Pn p
7» 7> Un <l
les réduites successives ; on a
1"!n— 'IPn^-àl^ ;
mais on a aussi
prj' — qp' = ± I .
On peut supposer (]ue le signe est le même, sans quoi on changerait les signes de //' et de q', c'est-à-dire le signe de w'. On
en déduit
p'=j>,.-hpt, q' = v« + v^
IROPRIÉTÉS GÉK. DES FOKCTIOftS UOL15L. TÉRIODIQUES. 79
/ élaiU un nombre cnlicr, et, paisuile,
«', =/''„ oj + <y„ &/ 4- ^W| ;
si de la seconde période w', on retranche un multiple f o), de la première, on remplacera les deux périodes o), et '»\ par les deux périodes équivalentes
On a de même
Pn 'ln~\ — fin /A,-. = qZ I ;
d'ailleurs
/^, r/ — quj>=^i; d'où />- = />-„, -h /A, t', <! =z fi^, + ry„ iî',
et les deux périodes précédentes deviennent
( »„, cj + <7„, co' ) H- ^' ( yj„ w + </„ ù>' ) , Pn'-'^ + 7« w'.
Si de la première on retranche un multiple de la seconde, on les remplacera par les deux périodes équivalentes
l>n-s Oi H- <7„, w', JJn'j) -h f/nOi'.
Fai ( onlinuaul de cette manière, on arri\era aux deux périodes
Mais on peut toujours supposer la fraction - moindie que
i'uiiité. sans cjuoi on aurait réduit en IVaclion couliiuie la
fraction - : dans ce cas, on a. po= o, r/o = i , pi = i , et les deux
dernières périodes obtenues sont ^/ et œ -h ^i w': une dernière opération les ramène à w, o/.
Propriétés générales.
()7. Les fonetions doublement périodiques, monoclromcs et monogèues, jouissent de propriétés communes qui résultent de l'idée même de la double périodicité. C'est M. l.iouville qui, le premier, a envisai^é les Ibiiclions doublement périodiques
So LIVRE II.
SOUS ce point de viif Irès-élevé: il a jclé ainsi un grand jour sur cvlle malièie auparavant si obscure.
Théorème I. — Le résidu -^intcgral de loiUe jonction doublement périodique , monodrome et nionogène, relatif à l'aire d'un j)araUélograunne ('lénicntaire, est nul.
M. Cauchy appelle résidu intégral d'une fonction monodrome et monogèue/'(^), relatif à une aire plane donnée, la valeur de l'intégrale Jf(z)dz. prise le long du contour de celte aire et divisée par iru. D'après ce qui a été dit au n" 20, le lésidu relatif à une aire c|uelconc[ue est égal à la somme des lésidus iclalifs aux aires infiniment petites qui comprennent les points de Taire pour lesquels la fonction f{z) devient intinie.
Nous supposons la fonction j [z] doublement périodique.
^'G '*' Représentons Içs deux
[)ériodes par AB et AC
.— / -y ■ / (./%• 16) ; des parallèles
/ / ' / écjuidistantes parlagc-
-^^J^x 1 t^ L ronl le plan en parallé-
/ / logranmiesdanslesquels
la fonction repiendra péri odi([uement la même valeur. Considérons le résidu intégral de la ' / fonction y (s) relatif à
Taire du parallélogramme ABDC, et l'intégrale définie prise le long du contour de ce parallélogramme, parcouru dans le sens ABDC. La fonction/ [z) étant la même le long des deux côtés opposés AB, CD du parallélogramme, il est évident que Tiniégrale définie, prise le long de ces deux lignes, acquiert la même valeur-, mais, comme les côtés opposés sont pai courus en sens contraire, les deux portions relatives à ces côtés, dans Tintégrale définie , se détruisent , et de même les deux portions relatives aux deux côtés opposés BD, CA. Ainsi l'intégrale définie, j)rise le long du contour du paiallélogramme est nulle, cl par coîisécjncnl le résidu intégral est nul.
l'UOI'lUÉTlilS (;Ki\. DKS lOXllONS DOIBL. l'KU KM) I o L KS . 8ï
Ce llu-orctUL' leiiiarquabic , diKjiu'l on déduit avec uiio grande facilité les plus importantes propriétés dt;s fonctions (loubleinciU périodiques, a été aperçu pour la piemière fois par !M. lleiniile.
(Î8. TnÉoRkviE II. — Toute fonction donhlcnicnt périodique, monodrouia cl monogcnc, admet au moins deux infinis dans chaque pnrallélogrnmme clénicnlaire.
La lonclion , étant périodique, admet un premier infini dans cliacpie parallélogramme. Si elle n'avait qu'un infini simple s = a dans un parallélogramme, elle s'écrirait
(33(2) ne devenant plus infinie dans ce parallélogramme; le résidu intégral relatif à ce parallélogramme, étant égal à A, ne serait pas nul 5 il y a donc au moins un second infini.
Cette propriété sert de base à la belle théorie des fonctions doublement périodi([ues professée par M. Liouvillc au Collège de France.
Si la fonction doublement périodique admet deux infinis simples, s = a, z =|S, dans un parallélogramme, on pourra la mettre sous la forme
ç (z) ne devenant plus infinie dans ce parallélogramme; pour que le résidu soit nul , il faut que R = — A. Si Ja fojiction admet un infini double z = x. oii aura
le coefficient de la traction du premier degré étant nul.
(59. Théorème III. — Chaque parallélogramme des périodes renferme autant de zéros que d'injinis.
Considérons la fonction -77^* Cette fonction, qui est doublement périodique, comme la fonction proposée^ (s), n'admet que des infinis simples, savoir les zéros et les infinis de la fonc-
8'i LIVl'.E II.
lion / (-)• Kn ciïrl , suit a un zéro tie degié /> de la (onction
f{z), on aura
/{z) = {z.— ayo{z},
la ionclion (p (2) ne devenant ni nulle ni infinie pour z = a; on en déduit
Ainsi la ([uanlité a est ini inlini simple de la fonction
f'iz)
- — ~' Le résidu de celle fonction , relatif à cette valeur a , est
égal à /?,
De même, soit y. un infini de degré q de la fonction f{z),
on aura
la fonction 9 (z) ne devenant ni nulle ni infinie pour 2= a 5 on en déduit
Ainsi la (juantilé a est un infini simple de la fonction
• ; et le résidu correspondant est égal a — q.
f-' [z] Puisque la fonction est doublenu-nt périodique, le lé-
sidii intégral de cette fonction, lelatil à faire du parallélogramme, est nul: on a donc
lp — lr/ = o, ou
On en conclut que, dans chaque parallélogramme, le nombre des zéros de la fonction J (2) est égal au nombre des infinis, en tenant coniple du degré de chacun d'eux.
70. Corollaire. — Désignons par // le nombre des infinis de la fonction/(z) dans charnue parallélogramme, le nombre des zéros est aussi //. La fonction /(z) — ?/, qui a n infinis, a aussi // zéros: ceci montre que, dans chaque parallélogramme, la fonction J (s) passe n fois par une valeur (pielconque a.
l'ROl'KlKTÉS GÉN. UKS KO>CTION.S DOllil,. l'KUlOOlQLES . 83
11 résulte de ce qui précède (jue 1 on peut caractériser Tordre d une lonclion doublement périodique par le nombre de ses infinis dans clia([ue parallélogramme, puisque ce nombre indique combien de fois la (onction passe par chaque valeur. L'ordre est au nu)ins égal à deux. Les fonctions doublement périodiques, provenant des équaiiotis différentielles que nous avons étudiées dans le diapilrc précédent, sont du second ordic.
71 . Théorème I\ . — La sonuiie des n valeurs de la variable qui, dans un nténie parallélogramme, correspondent à une même 7'aleur de la Jonction doublement périodique d/'ordre n, est coustanle.
Appelons Zj, Za,..., s„, les n valeurs de z qui, dans un même parallélogramme, correspondent à la même valeur u de la fonction doublement périodique u =::f[z), et posons
Ç = z, -i- z , 4- . . ■ 4- z„ , d où
d'^ dz^ dz. dz,^
dti du du du
A chaque valeur de u, iinie ou infinie, correspond une valeur finie de ç, augmentée de multiples des périodes, et une seule
valeur du coefficient différentiel -^i qui peut être regardé
du ' ^
comme une fonction de m, monodrome et monogène. Cette
fonction ne peut devenir infinie pour aucune valeur de u finie
ou infinie; car, si -r- devenait infinie pour u = «, on aurait,
du ^
en vertu du théorème III (n" 36),
de, «(«) du { u — a Y
et ^ deviendrait infinie, ce qui est impossible. La fonction
— ^ ne devenant pas infinie, est une constante; de plus, cette du
constante est nulle, sans ipioi on aurait ^ = A?i -f- B. Donc la
quantité i^ est elle-inèmc une l'onstantc.
84 Ll\RE H.
72, Théorème V. — // existe unej'ouc/ion doublement périodique du second ordre, monodrome et tnonogèrie , ayant deux périodes données w et oi', deux infinis donnés tx et ^ et deux zéros donnés satisfaisant à la condition g -|- € f= r/. -t- /> .
Proposons-nous d'abord de former une fonction doublement périodique du second ordre, aux deux périodes w et w', el admettant deux infinis donnés a el [3.
Considérons la double série
^'^ -^^^^^ 2 -^ — a+p ' A ^-=rp^
m— -c COS Z H- w w COS TT -i-
que l'on prolonge indéiinimcnt à droite et à gauche, en donnant à m toutes les valeurs entières deptiis o à + oo et depuis — là — 00 .
Nous commencerons par démontrer que cette double série est convergente. Désignons par p = /"+5/le rapport imaginaire des périodes— 5 et pour tixcr les idées, supposons s^ o.
En remplaçant les cosinus par des exponentielles, le terme général de la série devient
j ?•■ np I j z I I — 71 - ■ — '
Si m est positif el très-grand, on écrira ce terme sous la forme suivante :
mot ( z ) i -2 ry, izpi — ( z \ i — -jt '
2 m le
. 27t:/ a-l-/3\ r • 27r/ «+/? \ . a— /3 . a— /2 H 2 m npi — { z i 2 w TTC I — ( z— ) t • n 1 — tt '
Le module du facteur e^'"'^'", étant égal à e~^"'^% est très-petit ; le dénominateur est sensiblement égal à l'unité. La racine /«'^"" du icrme général est donc sensiblement égale à
c'esl-à-dlic à t;-^^", dont le module est e~-^\ Ainsi, quand ni
VRornitTÉs oi':a. des io.nctio.ns doiel. I'liuoiiiqi es. 8.» augmente indéliniiiii'ul, la racine //i""'(Ui ici nie général loiid vers une limite dont le module est moindre (juc 1 unité, et par conséquent la série, prolongée vers la droite, est convergente. Si m est négatif et très-grand, on changera le signe de m, et Ton arrivera à la même limite e-^P'.
La série (i), étant convergente dans les deux sens, déliiiit mio fonction de z. Cette fonction est monodrome, puisc{ue chaque terme n'a qu'une valeur pour chaque valeur de z. Il est aisé de voir qu'elle est doublement périodique. D'abord, chaque terme reprenant la même valeur, quand z augmente de w, la fonclioi» admet la première période o). Si z augmente de o/, le premier terme devient égal au second, le second au troisième, etc., en an mot tous les termes marchent d'un rang vers la droite \ puisque la série est convergente dans les deux sens, la somme ne change pas ■. ainsi la fonction admet la seconde période w'.
Le premier terme, celui ([ui correspond à m =^ o. devieni infini pour les deux valeurs z = a, z = j3, (|ue Ton peut auguienterd'un multiplequelconquedew; le ternie, qui correspond i\ m = — I , devient infini pour les deux valeurs z = a -j- oV, z = (S -4- oV, que Ton peut augmenter de même dun multiple ■quelconque de 'o, et ainsi de suite. La fonction admet donc les deux infinis z ^ x. z ^,S.
73. 11 reste maintenant à faire voir que la fonction est monogène. Nous nous servi iv)ns pour cela d un lemme que nous allons démontrer.
Soit
■une fonction définie par une série conveigeuic , dont eliaque terme est une fonction monodrome et mouogène de la variable z dans une certaine portion du plan ; si la série
<s [z] = u'^ -\- it\ -f- «3 -H . . . ,
obtenue en prenant la dérivée de chaque terme, cstcouxer génie, clic définit une fonction 9 (-;) qui est la dérivée de Ia fonction proposée^ (z), quelle que soit la direction du déplaccmcnî. Supposons quelon intègre depuis a jusqu à z, le Iodî;
d'une ligne comprise dans la poilion de plan considérée , on aura
Jfp ( z ) f/z =: I u'^ dz -\- I u\ ch -\- . . . ; ! Ja J a
puisque «„ est la dérivée de la fonction monodrome et monogène //o7 on a
du
et de même pour les autres teignes ; on a donc
[z)dz.=f[z)^f[a)
Imaginons que z se déplace d'une quantité très-petite dans une direction quelconque, il viendra
li'"^^!^ = ?(-).
Ainsi la fonction f {z) admet pour dérivée 9(-z), quelle cjue soit la direction du déplacement-, c'est donc une fonction nionogène.
Revenons maintenant à la série (i) ; en prenant la dérivée de chaque terme on forme la nouvelle série
'»~-^ sin — Z ^-hww'
m — —rr ces 1 Z ~ -+- ni w — COSTt ^'-
convergente comme la première. Car, si /m est très-grand positif, le terme général s'écrira
£ étant irès-petit ; la racine ni"""' aura pour limite e^^P', dont ]<' module f,'""^'^^ est moindre rpic 1 unité ; donc la série (2) est
PROPniÛïliS GÉN. DES I ONCTIONS DOV'DI.. TKIVIODIQ' ''^- ^J
convergente. En verlu du piliicipo (jiie nous avons élabli, la lonclion <|) [z) qu'elle définit, est la dérivée de fonetion J ( z), quelle que soit la direction du déplacement^ ceci prouve (|ue la fonction/ (z) est monogène.
7i. En résximé, la série (i) délinil une fouctiony (z) dou- Menieut périodique, monodrome et monogène, admettant les deux périodes données w et w'. et les deux inlinis donnés oc et (3.
La fonction
sera aussi doublement périodique, aux mêmes périodes o) el w'-, elle admettra les mêmes infinis ce cl [6 : elle admet de plus le zéro donné «, et par suite lui second zéro b, tel que a -f- [3 ^ « H- h. Il y a encore un facteur A arbitraire que l'on pourra déterminer par la condition que la fonction prenne une valeur donnée pour une valeur donnée de z.
A l'aide d'une fonction doublement périodique / (z) du second ordre, telle que t elle que nous venons de former, il esl facile d'obtenir une autre fonction doublement périodique du second ordre cp (s), ayant les mêmes périodes ro et w', mais d'autres infinis a', jS', et d'autres zéros a', b .
Considérons en elTet l'expression
le numérateur devient infini pour les deux valeurs z =a — d el z = |5 — 9, dont la somme est y. -\- [ù — 2 5; mais, comme le dénominateur admet aussi ces deux infinis, la fraction conserve une valeur finie. Les deuxvaleurs z = a', z = x-j- ,3 — 26 — a', annulant le dénominateur, rendent infinie la fraction ; si don<; on pose
d'où
la fraction admctjra les deux infinis simples %' et ,6'. Le nnnio-
râleur devient nul pour z = a' et aussi pour :; rrr //, à cause
de la relation a' -\- [6' = a! -{- h' .
75. Théorème VI. — // existe une fonction doublement périodique, mono dr orne et mono gène, d'ordre n, ayant deux périodes données w et w! , n infinis donnes a^, a.,,..., a„ et n zéros donnés «,, a, , • • ■ . «,,, satisfaisant à la condition
(4) a, + a, + . . . 4- a„^ r/, 4- rt; -t~ . . . -t- a„.
Nous pouvons former d'abord une fonction doublement périodique du second ordre, aux périodes w et w', admettant les deux infinis «j, a^, le zéro «, et un second zéro a!^ , tel que la relation «j -f- aa = rt, -f- «, soit vérifiée ; désignons cette fonction par (a,, a.,, aj, «,). Formons ensuite une deuxième fonction aux mêmes périodes oj et w', admettant les deux infinis rt',, «3, le zéro «95 et un second zéro a'^ , tel que a', -\-az^=a.2-{-d^, et ainsi de suite ; enfin une dernière fonction admettant les deux infinis a'„2, «„, le zéro «„,, et un second zéro ^/„i, tel que rtî,2 H- a„= «„i 4- «„!. Considérons le produit de toutes «es fonctions
(5) j F(z)=A.(a,, a,, .-/,, rt',) X («', , «o, «■.,«',) X («j,a>, «„rt!'3)X---
ce sera aussi une fonction doublement périodique, aux périodes r.) et w', La valeur s = a'^ , annulant le premier facteur, et rendant infini le second, n'est ni un zéro, ni un infini; de niême la valeur z z= d^^ qui annule le second fadeur et rend infini le troisième, etc. Airisl la fonction F(r) admet les « infinis donnés aj, «2,..., a„, et les n zéros <7], z^/,,. ..,«„,, «7'„i. Si Ion Tjoulc les rclalions
n' 4- «. irrr a-. 4- fi.,.
il vient
«,4- M. 4- . , , 4- a,,- «x 4- ";+ • • . 4- "fl-i -t- <i,
l'iiuiMuiVn':^ (;l:k. uks ioinctios ijoubl. i'Éiwodiqles. 8j) Kii VLTlu cle la relation (4), on a «'„, ^ r/„. La lonclion F (s) adnicl (lon<- aussi les n zéros donnés.
Il résulte d'ailleurs du tbéorèmc V (39), que deux fonctions doublement périodiques, qui admettent dans un parallélogramme les mêmes infinis et les mêmes zéros, sont égales à un facteur constant près. La fonction F(z) que nous vcjions de former, et «jui contient le facteur arbitraire A, est la seule ((ui satisfasse aux conditions énoncées.
Les fonctions du sccoikI ordie qui entrent dans la conq)Osition de la fonction F (2), ayant toutes les mêmes périodes, peuvent être exprimées, comme nous l'avons dit, au moyen d'une même fonctiondu second ordre/" (z) aux mêmes périodes, et l'on aura
en posant
7(5. Théouî-me vil — Deux foncdons doublement périodiques, nionodi onics et nionogi'iies, d' ordre fini, et dont les parallêlo grammes élémentaires , formés d'une manière convenable, sont des parties aliquotes d'un même parallélogramme, sont Jonctions algébriques Vunc de l'autre.
Soient u et v deux fonctions de z doublement périodiques, monodromcs et mono2;ènes, d'ordres n et n' , et dont les parallélogrammes élémentaires sont contenus j) fois et// fois dans un même grand parallélogramme. A une même valeur de u correspondent dans cbaque grand parallélogramme np valeurs de z \ les points homologues dans les divers parallélogrammes donnant une seule valeur de v^ il eu résulte qu'à une valeur de u eoricspoiidcnl np valeurs de v. De même, à une valeur de- v correspondent //'// valeurs de u. On en conclut ([ue les deux fondions // (H i' sont liées enlie elles par une écjuation algébrique enliêie, du degrc' ///'' |)ar ra])j)ort à f/, et du drgr('' ///' par !a]>j>orl à e.
CJO LI\ lîE ir.
77. Corollaire I. — Appliquons ce ihéorème à la recherclic de la relation qui existe entre la lonction doublement périodique u=f[z) et sa dérivée u' =f [z). La dérivée est une fonction doublement périodique avant les mêmes périodes que la fonction proposée. Elle admet les mêmes infinis, le degré de chacun deux étant élevé d'une unité; si donc on désigne par n l'ordre de la fonction «, Tordre n' de la fonction u' sera au moins égal k ii -\- i et au plus égal à -m. Ainsi la fonction u et sa dérivée u' sont liées par una- équation algébrique entière , du degrc' n par rapport à u' . et du degré n' par rapport à u.
Soit ( 7 ) U„ II'" -h U, u'"-' + U, «'«-- -I- . . . -4- U„ = o
celte équation ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de II. La fonction // ne devenanl infinie pour aucune valeur finie de u , le premier coefficient Uo est égal à lunilé. A une même valeur de u correspondent n valeurs de z dont la somme
est constante (71 ), et, par suite. // \ aleurs de —- ou de — dont la \ ' ■ ■ ^ (1(1 II
somme est imlle; il en résulte que l'avant-dernicr coefficient
U„j est égal à zéro.
Cette liaison algébrique entre une fonction doublement
périodique quelconque et sa dérivée a été remarquée par
M. Méray, élève de l'Ecole Normale.
78. Corollaire IL — Les fonctions doublement périodiques les plus simples sont celles du second ordre. Dans ce cas Téquation (7) se réduit ta
Ua étant un polynôme en « du troisième ou du quatrième degré. Ainsi toute fonction doublement périodique du second ordie satisfait à une équation différentielle du genre de celles ([ue nous avons étudiées dans le chapitre précédent.
Il V a deux cas à distinguer : i". Lorsque la fonction u=^f[z) a deux infinis simples a et ^3, dont nous désignerons la somme |iar A-, la ilérivéc ii\ ayant deux inliiiis r]ouMes, est nne fonc-
IMlOPRIÉTliS GÉIV. DES I•(•^CTIO^S DOl lîL. l'LR lODIQUES. [) l
lion doubletnfiil péiioditjuc «lu qualiièmi' ordre, el U: [>olyiiôincUï est du ([uatrièine degré. Il est facile de former ce polynôme ; la fonction n reprenant la môme valeur dans chaque parallélogramme pour deux valeurs de z, dont la somme est égale à la quantité s augmentée de multiples des périodes, on a
et, par suite,
Si l'on fait z
f[z)=f{s-z), /'(z)=-/'(.v-zl
■5 il vient
ce (|ui ne peur avoir lieu que si y M- ) est nulle ou iiitiiiie^ mais/' (-| n'est pas Intinie , puisque - dillère des deux iidinir. a et ji ; donc /' I - ] =z o. Si Ton remplace z par chacune
tles valeurs — | , — | , -
1 on a de nièiue
= -^"li + i
Ainsi la fonction u! admet les quatre zéros -
On a donc
2". Lorsque la fonction // admet un infini double a, la dérivée II, ayant un infini triple, est du troisième ordre, et le polynôme U, du troisième degré, La somme constante s étant égale
9^ LlVllE II.
a 2a, la foiiclion a ailniet les liois zéi os a H •> a -\-
a H 5 et 1 on a
(lo) ii'-=zk.
Chacun des facteurs cjui composent les expressions (9) et (10} admet un zéro double.
78. Théorème VIII. — Une fonction doublement périodique, de /ordre n, s'exprime rationnellement au moyen d'une jonction du second ordre aux mêmes périodes, et de sa dérivée.
Proposons-nous maintenant d'exprimer une fonction doublement périodique i^, de l'ordre //, au moyen dune fonction doublement périodicjue u du second ordre, à deux infinis simples a et .6, et aux mêmes périodes. Les deux fonctions sont liées par une équation
(11) L<'= — oM.'+ P = o,
du second deyré par rapport à i' et du degré n par rapjiort à u.
Si 1 on pose
celte équation devient
(12) (v-(M^^ — LP)=-- o.
La fonctiojj w est une fonction monodrome d(Uiblrment périodique par rapport à z, comme la fonction n. A chaque valeur de u correspondent, dans un même parallélogranune, deux valeurs Si et z^ de z, lesquelles donnent pour u' deux valeurs égales et de signes contraires , ci de même pour u'. Ainsi le quotient—est monodrome par rapport h u. INous avons vu que la
, . , , , , i s oj .V (o s M-t-W
jonction // admet les quatre zéros -> — | — » — | 1 — I :
Kl fonction w admet aussi ces quatre zéros. D un auiic (ôlc, i'iVpiatifin ( I '.' ) av<''ni son premier cocflicicnl égal h 1 uniîé, la
l'UOl'IUÉTlîS GÉJV. DKS JOJVCTIOJNS UOLBL. l'iilUODK^Jt ES . (j,)
loiN (ion H' 110 dcviciil inlinic pour aucuiic valeur finie de //.
Le (Miolient —■, inoiioilrome par rapporta u et nedeveiiaiil iii-
liiii pour aueime valeur iii)le de «, est doue une fonction entière de u (n°4())^ cette fonction est du degré n — '.i. Si nous la désignons par N, nous aurons la formule
dans larjuelle L, M, N représentent des polynômes entiers en u\ les deux premiers du degré n au plus, le troisième du degré n — 2.
Cette proposition très-imj)ortante est due à M. Liouville, (|ui l'a démontrée par d'autres considérations.
79. Remarques. — Le dénominateur L de l'expression (i3) est en général du degré n ; il sera nul pour n valeurs de «, et^ par suite, pour Q.n valeurs de z dans chaque parallélogramme. Parmi ces 2« zéros du dénominateur, n sont les infinis de la fonction t', ji annulent aussi le numérateur, et par consécjuent se détruisent. Le numérateur admet aussi in zéros, savoir les n dont nous venons de parler et qui lui sont communs avec le dénominateur, et, en outre, les n zéros delà fonction t^.
Si w est pair, et que, déplus, les infinis delafonction p', groupés deux à deux d'une manière convenable, présentent une sonune constante et égale à la somme s des deux infinis de la fonction // , Il est clair que le dénominateur L se réduira au
degré -; car les deux zéros de chacun des facteurs du dénomi-
nateur seront des infinis de la fonction v.
80. Désignons pary(2;) la fonction u et par F (2) la fonction V. Nous savons que
d OÙ
Si, dans l'expression
q4 LIVRE II.
on remplace z par s — z, il vient
Supposons (jue la fonction F (z) jouisse de la même propriété c|ue la fonction /{z), c'est-à-dire cpie F [s — 2) = F (z), la comparaison des équations précédentes monlre cpie N = o; dans ce cas, on a
et la fonction v est rationnelle en //.
Supposons au contraire ¥ [s — z) = — F (z) ; dans ce cas , on a M = o, et
Ces dernières remarques ont été faites par M. Liouville.
81. Théorème IX. — Lorsqu'une joiictioti nionodrome et inonogène a ses injïnis et ses zéros disposés par groupes égaux et équidistants suivant deux directions différentes^ et que ^ dans chaque groupe^ le nombre des zéros est le même que celui des infinis, et la somme des zéros la même que celle des infinis, la fonction est doublement périodique.
Nous avons fait voir (n° 75) comment, avec une fonction monodrome doublement périodiquey^(5) à deux infinis, on peut former une fonction doublement périodique F(z), ayant les mêmes périodes, un nombre cpielconque d'infinis et un pareil nombre de zéros donnés, pouivu que la somme des zéros égale celle des infinis.
Il existe donc une fonction doublement périodique F(z) ayant les infinis et les zéros de la fonction proposée-, le rapport de ces deux fonctions étant constant, on en conclut cjue la fonction proposée est elle-même doublement périodique.
LIVRI' III.
DKS FONCTIONS ELLIPTIQUES.
CllAiniKE PREMIER
OE LA FOISCTION /.
82. Dans le livre préeédent, nous avons indicjué une méthode pour étudier les fonctions délinies par les éijuations différentielles; en appli([uant eelte mélhode, nous avons vu que l'é- ([uation différentielle
— = \Ig ( u — a) [u — b) [il — c){u — d) dz
engendre une fonelion uionodrome doublemeul périodique du second ordre.
On donne le nom de Jonction rllipiiquc à îa fonction définie par l'équation différentielle
du.
dans laquelle g et A sont deux paramètres arbitraires. On suppose qiie pour z = o \a fonelion a la valeur initiale u = o, et le radical la valeur -f-i. jNous désignerons par la lettie A la fonction monodrome doublement périodique du second ordre définie par cette équation, et, pour abréger, nous représenterons le radical par Au.
83. l^a forme particulière du polynôme du quatrième degré placé sous le radical donne à la fonction elliptique certaines propriétés remarquables c[ue nous allons éuumérer.
On voit d'abord (jue la fonction / est impaire; car si l'on
yÙ' LIVUE III.
tau varier /< dans deux dircolions opposées, riiiléyrale déCiiii*^
__. r " du
Jo g ^ "
acquiert des valeurs égales et de signes contraires ; on a donc
