J.es quatre racines du polynôme placé sous le radical

sont -l-i, — 1,-1-, — -;

A ri

à ces racines correspondent les quatre points a, b^ c, d [Jig- I 7 ). Les deux périodes sonto)=A — C et o/=B — A.

Puisque C = — A, on a

Jo g^

celte intégrale étant prise suivant le cliemin rectiligne O a.

Pour évaluer la seconde période fù'= R — A, il faut parcourir successivement les deux contours (B) -+- (A). Ce double conlour équivaut en signe contraire au contour fermé

Oa' a" rt, /^ b' h" b^ «, n' O ;

à cause des deux changements de signe, le radical reprend en rt' la mèuic valeur, de sorte que les deux portions rcctilignes O rt'et rt'O se détruisent; l'intégrale se réduit à la droite a^ ^i, parcourue dans un sens et dans T autre avec des signes contraires ; on a donc

celte intégrale étant prise suivant le cbemin rectiligne ah.

85. Les deux valeurs de z qui, dans chaque parallélogramme, correspondent à une même valeur de « sont, abstraction faite

des périodes, s cl A — z, ou - — z, dont la somme est con-

DK LA FONCTION /. 97

slauto el éeale à -• On en déduil criic rclalioii cl, })ar siiile,

La fonction admet les deux zéros simples z .z^ o, ^ = -• On a

aussi ^(7) =1. pnisquVn faisant variei' // dr o à i en ligne

droite, l'intégrale définie z aequierl la valeiiry On voit par là

que, relativement <à la première période w, la fonetion ?i (z) jouit de propriétés analogues à celles de la fonction simplement

périodique sin

86. Claerchons maintenant les deux infinis. Supposons que la variable u^ partant de u s= o, s'éloigne à l'infini suivant un chemin quelconque, on obtiendra une valeur finie de z ,

Pos

il vient

Or, rien n empêche de supposer le chcjuin suivi parla variable Il tel que le chemin correspondant suivi par la variable u'

soit rectilignei on a donc y. = — U.n second chemin allant

e ?f = o a /< = oo donnera oc. c est-a-dn^e - — — ou

f.cs antres chemins conduisent aux mêmes valeurs.

JjiS LI\ IlE 111.

augnicnlées ou diinliiuées de multiples des périodes. Ainsi,

Fig. i<s. dans chaque parallélogramme, la

/ . , , fonction À (2) admet les deux in-

i X l X à X i ^-^ figure (18) indique la dis-

i — • — / — • — ♦ — • — -4 — tribuiioi) des zéros et des infini;

-♦ — • — -f — tribuiioi) des zéros et des infinis ' dans le plan relatif à la variable z \

les points ronds se rapportent aux zéros, les étoiles aux infinis.