Posons
OJ , 1
la nouvelle fonction p" satisfait à l'équation dillérenlielle
dv
et s'évanouit pour z' z= o, la valeur initiale du radical pou» z' = o étant q= i . On a donc
suivant le signe du radical, ce cjui donne la relaliou
k\[z') Si.dans celte relation on fait
il vient
Il est facile de déterminer le signe; on sait([U à la valeur «/= -j'
par linlégration rectiligne suivant Ob, correspond la valeur B &) w
- = -7 H . on a donc
ni: i.\ lOACïiON /. (^(,
ce qui nous ;ij)prtMKl (jlic dans l'équalioii (2) le radical a la
valeur initiale — 1, cl nar suilc la dérivée— — la valeur iiii- ' (Iz
lialc-l- I. On cil conclut la relation iniporlante
qui n'a pas son analogue dans le sinus, mais dans la tangente.
88. En résumant ce qui précède, on voit que la fonction elliptique, définie par l'équation (i), est une fonction monodrome doublement périodique impaire, ayant pour périodes
du
Jo éT -^ " J,
Elle admet dans chaque parallélogramme deux zéros z = o,
z=z -1 et deux inlinis simples z = — , z = : elle passe
deux fois par chaque valeur, et les deux valeurs de z, qui correspondent à une même valeur de la fonction, présentent une somme
constante et égale à -• Elle jouit des piopriétés suivantes :,
'(^"^ ') = "■'■<''' '(t+0 = ïi|i)-
On a d ailleurs
89. On peut obtenir ces résultats d'une autre manière. Désignons par w et w', non plus les deux périodes considérées précédemment, mais deux périodes formant un parallélogramme élémentaire quelconque. Si dans léqnaiion
on renii)laçe la variable par lune des valeurs o, -•,—■> -,
on a
lOO LIVKE III.
ce (jui moulre (^ue ces quatre valeurs rendent la fonction X nulle on infinie. Comme la fonction s'évanouit avec lavariable, z =o sera un premier zéro ^ nous pouvons admettre que le
second zéro est-? ce qui revient à appeler première période le double du second zéro ; car si le second zéro était ? rien
n'empêcherait de changer de périodes, et de prendre pour périodes nouvelles ri>i = w -|- œ', w', = w'. Les deux infinis seront
alors — ei •
La somme constante des deux valeurs de z qui, dans un même parallélogramme, correspondent à une même valeur de
la lonction, étant u i -■, on a
On en déduit
et, par suite,
J.a fonction paire ^'(z) admet donc les quatre zéros ± y ■> Mais on voit sur l'équation différentielle (i) que
4 2 la dérivée s'annule quand la fonction 1 est égale à ± i ou à
± -• On peut toujours supposer
car, SI 1 on a\ait, au contraiie.
ii^v 'U"*' =
il sullirail de changer les j)ériodes et de [prendre pour péiiodes
DE LA KOKCTIO.N /. lOI
uouYcIk's 'Ji^=z ')) -\- -1 'ti' , (j) ^ = (j)\ ce (|ui ne chai)f;exait ricii trailleurs à la disposition des zéros et des infinis.
Les infinis de lu fonction X [z) étant lespectivement égaux
aux zéros, augmentes de la quantité constante — •, on voit (|Ur
les valeurs de z, qui rendent la fonction / 1 1" ^ ) infinie,
sont celles qui annulent À [z). et réciproquement. Les deux
fonctions X h ^^ I ' ^-tt' ayant les mêmes zéros et les
mêmes infinis, sont dans u^n rapport constant; on a donc
Si Ton fait z ;= 75 il vient A = 75 et Ion obtient ainsi la 4 ^
relation
*J0. 11 importe de remarcjuer la manière dont on a choisi les périodes de la fonction elliptique À (z). On n'a pas pris un parallélogramme élémentaire quelconque, mais un paiallélogramnie tel que 1 on ait
Les propriétés que nous avons déniontré(;s se rapportent à (e système particulier de périodes, auxquelles nous donnerons, pour les distinguer des autres, le nom de périodes elliptiques. Toutefois, à une même fonction X (s ) correspondent une infinitéde systèmes de périodes elliptiques données parles formules
tài ■=: [^ m -\- i) (li ■+- ^ n 'W , w', = 2 m' w -h ( 2 «' -j- 1 ) w' ,
dans lesquelles //<, «, /?*', n' désignent des nombres entiers assujettis à la relation
{4 w -h 1} (2 «' + i) — 8 nni = dz I ,
I02 tIVKE III.
relation (|U0 Ton peut iiicHre sous la forme
On peut prendre à volonté les deux nombres m et «, pourvu que les deux nombres 4 '" -h i et n soient premiers entre eux ; l'équation précédente indéterminée admettra une infinité do solutions entières des inconnues ni' et //.
Le signe de la première période w est déterminé par la con-
dition À I - =: -|- I, mais celui de la seconde période w' reste arbitraire.
91. L équation (i), par laquelle nous avons délini la fonction /, renferme deux paramètres arbitraires g et Â, et l'on conçoit cjue les deux périodes w et w', qui s'en déduisent, puissent recevoir toutes les valeurs possibles ; nous désignerons cette fonction par le signe 1 {^i gi ^)- indiquant ainsi les deux paramètres g et fi, dont elle dépend.
Mais on peut ramener la question au cas où^= i ; 1 équation dilîérentielle
ne renferme plus alors qu un seul paramètre A, auquel on donne le nom de module ; la fonction elliptique qu'elle définit sera représentée par le symbole 1 {2,1, A), ou plus simplement / {z, A"), en sous-entendant le premier paramètre qui est égal h 1 niiilé. f/équation (1) pouvant se mettre sous la forme
du
on voit que
Si 1 on appelle c) cl (x)' les deux périodes de la lonclion /(zjA), celles delà fonction A [gz^ k) seront -et—: ainsi quand nii change la valeur du parainèlre i,-", les deux périodes
DK LA rONCTIO.N /.. loli
varieiil dans le mùiue rapport. Jl k'suIic de l;i (pie la valeur du module /. ne dépend que du rapport des péiiodes; après avoir délerminé ce module de manière que le rapport des périodes de la fonction / (z, k) ait une valeur donnée, il sera facile ensuite de choisir le paramètre g de manière que la fonclioi) A {gz, k ) admette deux périodes données.
yï litre définition de la fonction )..
92. D'après ce que nous avons dit dans le cliapitie IV du livre II sur lexistenoc des fonctions doublement périodiques, '.)n peut concevoir la fonction ellipticpie "^-{z). non plus comme définie par une équation différentielle, mais comme une fonction monodrome et nionogène doublement périodique du second ordre jouissant de propriétés particulièies. ZSous savons (n° 72) qu'il existe une fonction doublement périodique du second ordre ayant deux périodes données, deux zéros et deux infinis donnés, pourvu que la somme des infinis égale celle des zéros; nous savons aussi que cette fonction est complètement déîerniinée à un facteur constant près. Que l'on imagine Une fonction^ (:;) du second ordre aux deux périodes w et o/,
admettant les deux zéros o et -5 les deux infinis — et ^^ ,
et devenant égale à F uni té pour z = - (ce qui détermine le
facteur constant) ; celte fonction sera la fonction elliptique À.
iNous remarquons d'abord que cette fonction est impaiic: car les deux fonctions /"(z), f[ — z), ayant les mêmes zéros et les niomes infinis, sont dans un rapport constant: on a donc
ou
/(-^'^ ^fi^),
i Ton fait tendre z vers zéro, il vient
d où
lo4 LIVl'.E III.
et, par siilie,
11 en résulte
93. Il est aisé de voir eusuiie qu'une pareille fonction satisfait bien à l'équation différentielle qui nous a servi à définir la fonction X. Nous avons démontré en effet [n^ 77) que toute fonction doublement périodicjue, inonodrome et monogène du second ordre, vérifie 1 équation différentielle
Ici, la somme.? étant égale à - et la fonction impaire, on at
si 1 on pose il vieil l
et 1 é(pialiou différentielle se léduit à la forme II'- =z g[\ — lû) yi — k- a- ) ,
