CHAPITRE II
DE LA FOKCTIOA U.
94'. De la fonction 1 on déduit qiiel([ues autres fondions doublement périodi<|ucs du .second ordre. L'une, que nous
DF, I.A l'OACTlOJN U. .
désiijilcioiis par lu lellie a, (.-st 'Joniicc p;a' 1 équulioii liiilc
à la(|ucllc ou joint la coiidillou iiiilialc iJ-{o) =: i .
La fonction ^ n'est pas monodrome par rapport à ?. , mais elle l'est pai- rapport à z. En effet, c'est dans le voisinage des
valeurs z =d2 -77 pour lesquelles ^ = ±1, qu'elle pounail
acqviérir des valeurs multiples: posons
nous aurons, en développant en série convorgcnlo pour les valeurs suffisamment petites de z\
À ( -^ 4- s' j = I + az'"- + hz"' 4- ... ; la série ne contient que des puissances paiies de z\ puisque
il en résulte, en substituant, un résultai de la forme
donc la fonction y. (s) reste monodrome dans le \oisinage de z ■= -• Il eu est de même dans le voisinage de la valeur
La foiutiou pourrait encore cesser d être monodronu', quand
A devient ininiie. ce (ini ;i luni mnn z =z — on z =^ •
Posons
il \ient
Io6 LIVUE III.
la fonction ij. devient intinie pour z ::= —: mais elle reste ino-
nodrome autour de ce point. 11 résulte de ià que la fonction u est monodi^ome pour toutes les valeurs de la variable z.
9o. La fonction y. est paire. En effet, si Ion fait marcher s, à partir de l'origine, suivant deux lignes opposées, la fonction f-(^) prendra aux points correspondants z et — z, deux valeurs égales, ou deux valeurs égales et de signes contraires 5 quand z parcourt un premier élément de part et d'autre de l'origine, les deux valeurs de ^«.(2), différant très-peu de [j. (o) ou de H- I, seront de même signe, et par conséquent rigoureusement égales ^ il en sera de même tout le long des deux courbes. A la vérité, le raisonnement serait en défaut si les
courbes passaient par les points z = it:ji pour lesquels
a (2 ) = o ; mais on pourra toujours éviter ces points, et, comme la fonction est monodromc, la conrlusion est générale. On a donc la relation
90. Cherchons les périodes de celte fonction : nous avons lrou\é
donc
ce (pii donne la relation
En aioulanl - une seconde fois, on aura ■' 2
w est une première période.
Nous avons irouNé d autre pari
DE LA rOKCTJOA U..
il (Il lOSllIl* OU
(le sorte ((iio 0/ 11 est pas ici la seconde période, coiiiiiie [xhii la foiiclloii /. iMais, si Ton ajoule -1 on a
la seconde période est — (- w'.
L'aire du parallélogramme construit sur les deux périodes
0) , — h (*/ de la fonction y. est égale à celle du parallélogramme
construit sur les deux périodes 'ù et w' de la Ibnclion \. En effet, portons, à partir de rorigiiie, deux {[uantilés géométriques Oa, Oh égales respectivement aux deux périodes 0;, co', le parallélogramme relatif à la fonction X sera Oacb {fig. 19).
La quantité 0/ -h - est figurée par la droite od qui va de 1 origine au milieu d de hc ^ de sorte que le parallélogramme relatif à la fonction a est O aed. Ces deux parallélogrammes ont leurs aires égales. Ainsi les périodes de la fonction p partagent le plan en parties de même grandeiu" que celles de la fonriion X, mais d'une manière différente. Si Ton a\ait pris 2w' pour seconde période de la fonction u, on aurait eu un parallélogramme deux fois trop grand.
97. La fonction y. admet deux zéros el deu\ iiilinis dans chaque parallélogramnie. Les deux zéros sont
io8 ■ LIVHE iir.
les deux infinis sont (eux de la foncliou A (z), savoii-
mais ce dernier, par la soustraction d'une période — (- w', peut s écrire z =
Nous avons indiqué sur la figure les zéros de la fonction p. par des points ronds, les infinis par des petites croix. Les deux
périodes w et — h w' constituent un parallélogramme élémentaire, puisque ce parallélogramme ne renferme que deux infinis et deux zéros. En résumé la fonction p., définie par Téquation (i) , est une fonction monodrome paire doublement périodique du second ordre; elle jouit de propriétés
analogues à celles de la fonciion cos ■, relativement à la première période w.
Comme on a y. ( — js ) :^ p. (z) , la somme des deux valeurs de z qui, dans chaque parallélogramme, donnent la même valeur de la fonction est constante et égale à zéro, en négli-r géant les multiples des périodes.
