VIIT TABLE DES .MATIERES

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Théorkme il. Toute fonction doublement périodique, monodromeet monogène, admet au moins deux infinis dans chaque parallélogramme élémentaire 8 1

Théorème III. Chaque parallélogramme élémentaire renferme

autant de zéros que d'infinis. 8f

Classification des fonctions doublement périodiques 82

Théorème IV. La somme des n valeurs de la variable qui , dans un même j)arallélogramme élémentaire, correspondent à une valeur d'une fonction doublement périodique d'ordre «, est constante 83

Théorème V. Il existe une fonction doublement périodique du second ordre, uionodrome et monogène, avant deux périodes données, deux infinis donnés et deux zéros donnés, pourvu cjue ia somme des zéros soit équivalente à celle des infinis 84

Théorème VI. Il existe une fonction doidilenient j)ériodique , monodrome et monogène, d'ordre n, ayant deux périodes données, /? infinis donnés, et n zéros donnes, pourvu que la somme des zéros scit équivalente à celle des infinis 88

Théorème VII. Deux fonctions doublement périodiques monodromes et monogènes, d'ordre fini, et dont les parallélogrammes élémentaires formés d'une manière convenable, sont contenus exactement dans un môme parallélogramme , sont fonctions algébriques l'une de l'autre. 89

Corollaire I. Il existe une relation algébrique entre une fonction doublement périodique d'ordre quelconque et sa dérivée. yo

Corollaire II, Toute fonction doiiblciiien' périodique du second ordre satisfait à ime équation différentielle de la forme

— \ = L , U désignant \\n polvnonie entier en U du troisième ou du quatrième degré f)0

Théorème VIII. Une fonction doubtementpériodique, de l'ordre n, s'exprime lafionnellement au moven d'une fonction du second ordre aux mêmes j)ériodes el de sa dérivée (j2

Picmarques 98

Théorème IX. Lorsqu une fonction monodrome et monogène a ses infinis et ses zéros di.sposés p.ir grou|)es égaux et ('(jui distants suivant deux directions différentes, et que dans

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chaque groupe le nombre des zéros est le même que celui des infinis, et la sonniie des zéros équivalente à celle des infinis, la fonction est doublement périodique 94

LIVhi: III.