On est conduit aussi à considérer la fonction

analogue à la tangente, et que nous désignons par la lettre cj.

Cette fonction est impaire; ses deux périodes sont- et 2w;

elle admet les zéros de ^(2:) et devient infinie ]iour les valeurs qui annulent y- ( ^).

DE LA F0>'CT10Î( V. Il3

On

• il en

i déduit

s/F' ~VW ' \4

On obiieiit des fonctions nionodionics doublement périodiques du second ordre, en combinant deux à deux, pnr ninlliplicalion on di\ision, les quatre fonctions y' i ± / [z) ^ \ i ±AX(2;)^ d'après ce ([ue nous avons dit, chacune de ces fonctions reste monodrome cjuand X devient égale à ± i ou à

± jy mais elle cesse de 1 èlre quand ). devient infinie: toutefois les produits nu les quotienls de ces font lions deux à deux restent monodromcs pour toutes les valeurs de z. Parmi ces combinaisons, nous uvons étudié spécialement celles Cjue nous avons appelées u. et v. jNous signalerons encore les suivantes

v/(i — l]{i—kl), \/-^^' k/- rr- Il e>t clair que les quo-

tieiits deux à deux des fondions ainsi formées fourniront aussi des fonctions monodromes doublement périodi(pies du second ordre; à cette catégorie appartient la fonction nr.

103. Dans le cas où le paramètre g est égal à l'unité , léquation différentielle, par laquelle on définit la fonction À, peut se mettre sous la forme

ce qui nous fait voir que la fonction doublement périodique /.' du quatrième ordre est le produit de deux fondions doublement périodiques du second ordre. En différentiant les équations

fji- = I — X% ■/ = I — Â-V,

on a , de même ,

ii4 Livr.E m.

Aiïisi on juiu déliiiif les tiois fonctions ^, p., v par le système des trois équations différentielles simultanées

auxquelles on joindra les conditions initiales