BEMARQUES SUR LES MODULES
Modules réciproques.
\0\. Il CMisle une relation lrès-sin)plc entre les deux fonctions elliptiques qui correspondent cà deux modules réciproques A Cl -• Si Ton pose 7i= y ? Técpialion différentielle (lu
dz
devient
avec la condition ii' = o pour x: = o. On a donc
et, par snite.
On en dédnii
nEMARQUES SUU LES MODULES. Il5
En vcitii (les relations préeédentes, quand le module est rrcl, on peut toujours ramener les fonctions elliptiques au cas où le module est moindre que l'unité.
Modules coniplcmciilaires.
105. On appelle modales complémentaires deux modutcs ]\ et A' tels que A' -|-À'" = i ', le module A étant donné, et la fonction X(.z,A) bien définie, ou clioisira le signe do A' rlc
manière que v ( ^ ) = A'. L équation
dans laquelle on icmplace X et v par leurs valeurs en fonction de u, devient
'l± =- ^/(T37^y(7=TT7V;> = /' \^{i-yy) ( 1+ -^ aj ;
le radical se réduisant à la valeur -h i pour z = y, puisque
Si 1 on pose
celte équation prend la forme
la fonction u. s'évanouissairt avec la variable z'. et le radical se
réduisant à l'unité. On voit par là que la fonction (j.ij
est une fonction / de la variable z\ ayant pour module -jj-
ni
on a donc
ou
ii6 LIVRE ni.
lOG. De l'équaliou
MfJ=-/.'À(z)M^),
on déduit de nicine
le radical se réduisant à la valeur -f- i pour z z=:-- \ car
on a
Si l'on pose
celle équation prend la Ibrme
la fonction v s'évanouissant avec la variable i:', cl le radical se réduisanl à rniiilé. Ceci montre que la fonction
est nue fonciioii X delà variable z' ayant pour module — • On a donc
ou, en vertu des relations (9) et { 12) des n"' 400 et 101,
(5) >(/Z,A') = /ct(3,>?).
On en déduit
(S) ''<'^'*'^ = ,Mr:i)' ■'('^•'') = ?Ti7r!-
107. Ici se présentent quelques applications des remarques que nous avons failes au n° 90 sur les périodes elliptiques.
