REMARQUES SUR LES MODULES. II
Imaginons que 1 on change le signe du module k-^ «e module n'entrant que par son carré dans Téqualion didércniiellc, la fonction X ne change pas, et Ion a
Ces deux fonctions, en tant que fondions doublement périodiques, admettent é\idcmment les mêmes périodes, mais non les mêmes périodes elliptiques. Désignons en effet par o) et w' un système de deux périodes elliptiques de la fonction 1 {z,h) \ on obtiendra un système de périodes elliptiques de la fonction X (z, — A) en prenant w, = w, w', = oo -h w', afin que la relation
soit satisfaite.
Nous avons trouvé (n° lOi), entre deux fonctions elliptiques à modules réciproques, la relation
Les deux fonctions X (z,A), X (A\s , y], en tant que fonctions doublement périodiques, admettent les mêmes périodes-, mais un système de périodes elliptiques de Tune ne constitue pas un système de périodes ellipti([ucs pour la seconde.
Désignons en efïel par o) et 0/ deux périodes elliptiques de la fonction X (z,A), et par o),, w'^ deux périodes elliplicjutîs de
la fonciion X iliz, -y Si, dans la relation précédente, on fait
7 •) o\\ z =z -^ on a
^[Ki-^)'^]=--
on posera donc
I l8 LIVRE m.
cVoù Ton déduit
La fonction li hz, -\ admet pour périodes elliptiques, non
plus w cl w', mais w — 2 w' et w'.
INous a\ons obtenxi (n" 106) entre les fonctions elliptiques à modules complémentaires la relation
Si Ton désigne, comme précédemment, par w et w' deux pé^riodes elliptiques de la fonction X (z,Â), on voit que la fonction X (2, A') admettra les deux périodes /et — 200'/,
mais non en qualité de périodes elliptiques. Si l'on fait
ou
on déduit de la relation précédente
Pont avoir les périodes elliptiques de la fonction X (2,//), on posera doue
d'où
Cas où. le module est réel.
108. La fonction elliptique a été l'objet des remarcjuables travaux de Lcgendrc, d Abel et de Jacobi, Lcgendre a étudié
hemauques slu les modules. 119
plus [Ku ticulièieinc'iil le tas où le module est réel ei moindre que l'unilc'.
Dans ce cas, la fonction inverse, donnée par Tinlégrale définie
/ (lu
ne leste réelle que si u varie de — i à 4- i ^ si l'on pose
u = sin <p ,
il vient
en désignant par Ao le radical v/i — A'sin-'p. Lcgendre, qui ne se s'occupait que de la quadrature ou de la fonclioii inverse, regardait l'angle o cornmc ramplilude de la valeur z de l'intégrale définie. Jacohi , qui, avec Abel, a le premier considéré la fonction directe //, a été conduit d'après cela à leprésenler cette fonction directe par le symbole s'ni amz (c'est-àdire sin cp, ou sinus amplitude 2) 5 il représentait de même la fonction y. [z) ou cos o par cos amz, et la fonction v [z] ou A(j) par A amz. Mais nous préférons conserver, même dans ce cas particulier, pour représenter les trois fondions directes, les signes }. [z], y. [z], v [z], qui sont beaucoup plus simples et plus commodes dans le calcul.
109. Loisquele paramètre A est réel et moindre que l'unité (nous le supposerons positif), si l'on choisit les périodes elliptiques particulières indiquées au n° 8i, on voit <[ue la première péiiode
^^ , r ' du ^ n d^ ^
' Jo \j[\ — iû){\ — Pu') ~ * X v'i — A'sin'? est réelle et positive ^ la seconde
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