I2C> LIVRE

esi imaginaire. Si Toii pose

/ ' + X" = j , /= n' + /'2 u" = i cette dernière intégrale devient

. r' du' n

Le module complémentaire A' étant aussi réel et moindre que l'unité, la fonction >. {z,Ji') admet également une période réelle positive Wj et une période imaginaire co', . En vertu de la formule précédente, on a

La période imaginaire de la fonction 1 {^ ,^) égale la moitié de la période réelle de la fonction )-{s, //), multipliée par /.

110. Il est à remarquer que, dans le cas particulier que nous considérons en ce moment, la fonction elliptique 1 [z) est réelle et moindre que l'unité, pour toutes les valeurs réelles de la variable z. Car u vaiiant de o à i en lieue droite, z varie de

o à y aussi en ligne droite 5 léciproqviement, quand z marclie sur Taxe ox de o ky-, u reste réelle et croît de o à i , En vertu

de la formule

on voit que, lorsque la variable continue son mouvement sur

Taxe ox d<î -7 à - ? la fonction reste réelle cl décroît de 1 à o, 4 ^

La formule

montre cnsuiie que de- à w la fonction devient négative, décroissant d'abord de o à — i, puis croissant de — i à o. De w

REMARQUKS SUR LES MODLLEi. l M

à 2 w, elle repasse par les mêmes valeurs que piéeédeuiinent, et ainsi de suite indéfininienl.

Les deux fonctions ij. [z] pIv[z) sont aussi réelles et moindres que l'unité pour toutes les valeurs réelles de z. La fraction ^ décioil de -i-i à — i, quand ;; varie d(; o à - •> [)uis elle croit de — i à 4-i. quand z \arie de - à ox Quant à la fonction V, elle reste non-seulement réelle, mais encore positive et moindre que l'unité. Nous avons déterminé (n" 100) le signe

du module conqjlénienlaire // par la condition -j i y ] = k' :

c est donc la valeur positive qui entre dans nos calculs.

111. Si l'on donne h la variable z des valeurs imaginaires de la forme z' /y z' étant réelle, la fonction sera imaginaire et de la forme ii i. Car si Ion pose

u = u' i , II! étant réelle, on aura

^ . r"' du' , .

Jo v/(« + "'^} (1-4- /'«'') Réciproquement, quand la variable z raarclic sur l'axe oy de

G à —5 la fonction // prend des valeurs de la forme iii. zi'crois- 2 ^

sant de zéro à linllni.

Les deux fonctions p. (2) et -j{z) restent réelles. Quand x

varie de o à — ? ces deux fonctions croissent de -f- 1 à -h oc : .r

, 0> , , , , , o W , J fj) , /Il

variant ensuite de — a w , de w a , de — - a aro , elles crois-

sent de — 00 à — i , pour décroître de — i à — oc et de -(- ce

à -t-i; au delà les mêmes valeurs se reproduisent périodiijue-

ment, La manière dont nous avons choisi la seconde période co',

qui est égale à une quantité réelle positive, multipliée pai- /,

s accorde avec riivpoilièse faite au n" 1(^0; car, d<^ l'équa-

tinn (i4). u" 102, on déduit tô ( z\ = —t—t et. riuand z