DÉVEL0P1'EME^T DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES DE FRACTIONS

Méthode générale pour le développement des foncLÏons en fractions rationnelles.

112. Soity (2) une fonclinu raonodroine cL monogène tlans Fij. 21. une certaine portion du plan, mais

devenant iiitinie en certains points.

t \ Marquons un point quelconque t

[fig- 21) dans cette portion du plan , nous aurons

1 "intégrale définie étant piiselc long de la courbe fermée qui limite le contour de l'aire plane considérée, et le signe résidu s'appliquant à tous les points tels que z = c/.. qui rendent la fcnctiDU f[z) infinie dans celle portion du plan. On en déduit

Supposons maintenant que Ton augmente indéfiniment, et dans tous les sens, la courbe fermée suivant laquelle on effectue 1 intégration, de manière qu'elle embrasse tout le plan, la première partie du second membre, ou la somme des résidus, sera convergente, si le second terme, «ni le reste que nous représenterons par V\, a pour limite zéro, On peu! simplifier

rexpiessiou de ce xeste : la courLe étaut infînimenL grande, on aura, sur celle courbe,

z — t Ê désignant une quanti lé infiniment petite, et par suite

^■-ij z — t 27: ij Z 27zi J 2'

Si, ]e long de la couibe variable, le module delà fonction/ (5) reste moindre qu'une quantité finie, la seconde partie du reste a pour limite zéro, et Ton se bornera à considérer la première partie

■/{z)ciz

Application aux Jonctions cosèc z et sécz. 1 13. Appliquons la formule précédente au développement

de la fonction f(^z) = -. — ? qui devient infinie pour les valeurs z = inTi {m désignant un entier quelconque positif ou négatif), distribuées uniformément sur Taxe des x. Intégrons suivant le contour dun rectangle formé par des parallèles à

1 axe des )', menées à la distance iii't:-\- ~ de 1 origine, et par

des parallèles à l'axe des x à une distance Irès-grande arbitraire Y. On reconnait aisément que le module de la fonelion casée z est moindre que Funité sur les premières parallèles, et irès-peiit sur les dernières. Il en résulte que la seconde partie du reste a pour limite zéro, quand on fait croitre m' et Y indéfiniment. Quant à la première pariie , elle est identiquement nulle; car, la fonction étant impaire, les éléments différentiels, qui correspondent à deux éléments du rectangle symétriques par rapport au centre, sont égaux et de signes contraires. Ainsi la fonelion ]>roposée se développe en une série convergente. Pour évaluer le résidu rciallf à un infini quclcon(]ue nir. de

la fonction -T—^ 5 posons z = m tt -{- ^', et considérons l'inté-

DÉVELUP. DES rONCl . ELLIP. EN Si:iU E UE FRACTIOIVS. t '2J

grale définie

27ri J {( — z)sinz n-i J [c — m rr — 3';sin2'

prise le long d'un cercle infiniment peliidécrii aulourdii point ;7j TT -, on pour réduire celle intégrale à

t — m t: "J. v: i J z' t — m tz

On a ainsi, en vertu de la formule (i),

^=iim y -<

ou, en remplaçant L par s,

sin z

En groupant deux à deux les termes fournis par des valeurs de m égales et de signes contraires, on obtient la formule connue

;4) -JL-^i + ,,y

' " . SUIS 3 ^u

■if

SI dans la formule (3) on remplace z par z -, il vient

ni~m ni=zm'

ÎSous avons ajouté un terme infiniment pelit à gauche de la double série convergente, celui qui correspond à m = — i?i' — i , afin d'avoir autant de termes d'un côté que do laulre. Le groupement des facteurs conduit à Texpression