COS 3 .A
120 MVnE IV.
Application aux fondions coi z et tnng z.
\ i i. Les infinis de la fonction cet z ou -. — ^ sont les mêmes
sm z
que ceux de la fonction précédente. On intégreia suivant le même rectani^le-, le module de la fonction cot z étant moindre que Tunité sur les premières parallèles, et différant Irès-pcu de l'unité sur les autres, la seconde partie du reste a pour limite zéro 5 d'ailleurs, la première partie est nulle, puisque la fonciion est impaire. On aura encore une série convergente. Pour évaluer l'un quelconque des résidus, on posera z=^nnz-\- s', et Ton considérera l'intégrale définie
. \ (Iz — / -, dz' ,
"2.77 l J t Z "2-7: l J t — m TZ — S
prise le long d'un cercle infiniment petit décrit autour du point z = /n 7: 5 cette intégrale se réduit à
1 I rf^„
t — niTT 9. Tz i J z' t
On a donc
(6) cot z =1 Uni
Tn:=m
niz
et, si l'on groupe les tcrjucs deux à deux,
(7) C0tZ=:-+2Z "V — .
En remplaçant z par z — -5 et ajoutant un terme infiniment petit, on déduit de la formule (6)
d'où
ni=y.
t.»ng - — ^- - ^ ^,
n;=o >?-W-Hi)'y -
diWeloi'. des fouct. ellip. in si^;p,ir: ur- fuacxioks. \i'j
jéppUcalion à la f 071011011}..
llo. La fonction }. [z] est impaire-, ses infinis sont représentés par la formule
danslaquelle/zi et n sont des nombres entiers quelconques, posi- Fijj. 22. (ii's ou négatifs. Portons dans
la direction de la pieniière période co, et de part et d'autre de l'orii^ine ( fig. 22), mie longueur OA, OA', égale à
m — h^? et,aans JadirecLion
de la seconde période, une longueur OB , OiV, égale à («' -h i) 0/. Nous formerons ainsi un parallélogramme CDEF, le long duquel nous effectuerons l'intégration. La fonction À (z) conserve évidemment une valeur finie sur le contour du parallélogramme; ainsi la seconde partie du reste a pour limite zéro, quand on fait croître m' et n' indéfiniment; d'ailleurs la première partie est identiquement nulle, puisque la fonction est impaire.
Pour évaluer le résidu relatif à un infini quelconque, il suffît de poser
d'où
et d'intégrer le long d'un cercle infiniment petit décrit autour du point z = m - -i- ( 2 /; -T- i) — 5 ce qui donne
(-1)'" i rd£ ^
/^ I r — W- — (2« -1-1) — ) '" * /?•(/' — W (2rtH-l) —
128 LIVIiK IV.
On a donc
(lo) x{z) = ]\m- S ^
H=; — Il — I /?;:= — III
tu . UJ
Pour laineuor celte somme double à une somme simple, BOUS grouperons les termes par files parallèles à la direction 03. On a, en vertu de la formule (3),
lu^^ni' ni=zm'
hm > ^ — = luii ^
d'où
sm I ( 3. « -i- I ) 7Vp }
.„■, sm I [2 n -{-i)np
Nous avons vu (n° 72) que les deux parties de cette série, prolongée vers la droite ou a ers la gauche, sont séparément convergentes. On écrira donc
/:co ^
«=:~co smi — ^ {7.n-\-i)np\
En g( oupant les termes deux à deux, on en déduit
, ... 8 7r . 2 r 2 -r-, cos f 2 rt + 1 ) rrp
A" W M ^Bsi Û -K Z „„ COS 2 ( ?. /2 4- I ) 770 COS
Ja<obi représonle par q la quantité e"~" 5 si dans l'cxpres-
sion du rapport oes pei locies p = — = r+.w, rapport toujours
imaginaire, la quantité <• est positive, la quantité a a son module moindic que Tunilé-, eji introduisant cette quantité dans
nitVFI.Ol'. DES FO^CT. ELLIP. EN SÉRIE DE FUACTIOKS. 1 29
la série {12), on est conduit à la forme
n=:cc
(,3) M»)='*!^'-iii-'.y 7-(.+ 7-)
4 Tf Z
2 7'"-^' COS ^ h .7'(2"+'J
rlonnée par .lacobi.
j4pph'calion à la jonclion [x. '
